恒等写像と合成写像

恒等写像

集合 $X$ の元 $x$ に、 $x$ そのものを対応づける写像を $I_{X}$ とする。すなわち、

とする。これを恒等写像 (identity map) という。

恒等写像の例

$(1)$ $\mathbf{R}$ を実数全体の集合とする。 $\mathbf{R}$ の元 $x$ を $x$ にする写像

は $\mathbf{R}$ 上の恒等写像である。

$(2)$ $M_{2}$ を $2 \times 2$ の実行列全体の集合とする。 $M_{2}$ の元 $m_{2}$ を $m_{2}$ にする写像

は $M_{2}$ 上の恒等写像である。

補足
$(1)$ 任意の実数 $x$ に対して、 $1$ を掛けても値は変わらない。したがって、写像

は、$\mathbf{R}$ 上の恒等写像である。

$(2)$ 任意の $2 \times 2 $ 行列

に対して、 $2 \times 2 $ の単位行列

をどちらから掛けても変化しない。すなわち、

が成り立つので、写像

は、$M_{2}$ 上の恒等写像である。

恒等写像は全単射

恒等写像は全単射である。

証明
集合 $X$ に対する恒等写像

の像 $\mathrm{Im}\hspace{0.5mm} I_{X}$ は、明らかに $X$ そのものであるので、すなわち、

であるので、 $I_{X}$ は全射である。
また、 $x, x' \in X$ に対して、

が成り立つので、対偶を考えると、

が成り立つ。ゆえに、 $I_{X}$ は単射である。
以上から $I_{X}$ は、全射かつ単射であるので、全単射である。

合成写像

集合 $X$ から集合 $Y$ への写像を $f$ とし、 $Y$ から集合 $Z$ への写像を $g$ とする。すなわち、

とする。このとき、 $X$ から $Z$ への写像で、$x $ を $g (f(x)) $ にする写像を $f$ と $g$ との合成写像といい、 $g \circ f$ と表す。すなわち、

である。

合成写像の例

$(1)$ $\mathbf{R}$ を実数全体の集合とする。写像 $f$ と $g$ を

と定義する。合成写像 $g \circ f$ は

である。

$(2)$ $\mathbf{C}$ を複素数全体の集合とする。 $M_{2} (\mathbf{C})$ を $2 \times 2$ の複素行列全体の集合とする。写像 $f$ と $g$ を

と定義する。合成写像 $g \circ f$ は

である。

性質

集合 $X$ から集合 $Y$ への写像 $f$ と、 $X$ 上の恒等写像 $I_{X}$ と、 $Y$ 上の恒等写像 $I_{Y}$ に対して、

が成り立つ。すなわち、ある写像と恒等写像から成る合成写像は、もとの写像に等しい。

証明
恒等写像の定義から任意の $x \in X$ に対して、

が成り立つので、

である。同じように、

が成り立つので、

である。