全射・単射・全単射とは?
写像
集合 $X$ の各元から集合 $Y$ の元が唯一つ定まる規則があるとき、
その規則 $f$ を
写像といい、
と表す。
$X$ の各元 $x$ から写像 $f$ によって得られる $Y$ の元 $y$ を $f$ による $x$ の
像といい、
と表す。$f$ による像の全体を
集合 $X$ の像といい、
$f(X)$ または $\mathrm{Im} \hspace{0.5mm}f$ と表す。 すなわち、
である。
例と解説
集合 $X$ と集合 $Y$ の間の以下の規則
は写像である。
なぜなら、$X$ の各元から $Y$ の元が
唯一つ定まる規則になっている。
また、$X$ の各元の像は、
であり、
$f$ による $X$ の像 $\mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f$ は
である。
一方、集合 $X$ と集合 $Y$ の間の以下の規則
は写像ではない。
なぜなら、$X$ の各元から $Y$ の元が
唯一つに定まらない規則になっているからである
($X$ の元 $2$ が $Y$ の元 $6$ または $8$ になる規則になっている)。
このように、$X$ から $Y$ への規則を対応図で表したときに、
$X$ の各元から矢印が一本だけ出ているときには、その規則は写像である。
全射
写像
による $X$ の
像 $\mathrm{Im} \hspace{0.5mm} f$ が $Y$ 全体に等しい場合、
すなわち、
$$
\tag{2.1}
$$
であるとき、
写像 $f$ が
全射(surjective)であるという。
または $X$ から $Y$ の
上への写像という。
$(2.1)$ は、$Y$ の全ての元が $X$ の元の像であることを表している。
したがって、
$(2.1)$ ば次のように言い表しても良い。すなわち、
任意の $y \in Y$ に対して、
\begin{eqnarray}
f(x) = y
\end{eqnarray}
を満たす $x \in X$ が存在する。
これが成り立つならば、 $f$ は全射である。
例と解説
集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
は全射である。
なぜなら、$Y$ の全ての元が $X$ の元の像になっているからである。
正確には、
であり、
$X$ の
像 $\mathrm{Im} \hspace{0.5mm} f$ が
であるので、
が成り立つ。したがって、$f$ は全射である。
一方、集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
は全射ではない。
なぜなら、$Y$ の元 $8$ は $X$ の元の写像になっていないからである。
正確には、
$X$ の
像 $\mathrm{Im} \hspace{0.5mm} f$ が
であるので、
となっている。したがって、$f$ は全射ではない。
このように、
$f$ を対応図で表したときに、
$Y$ の全ての元に $X$ の元から矢印が到達しているときには、
$f$ は全射である。
単射
写像
において、
$X$ の各元 $x$ の
像
$y$ が $x$ のみの像であるならば、
$f$ を
単射 (injection) であるという。
または $X$ から $Y$ への
$1$ 対 $1$ (onto)
の写像であるという。
$f$ が単射であるとき、
異なる二つの $X$ の元
$x_{1}, x_{2}$ のそれぞれの像 $f(x_{1}), f(x_{2})$ が一致することはない
(もし一致すると、その像が $X$ の二つの元の像になってしまう)。
したがって、正確には
写像 $f$ に対して
が成り立つとき、$f$ を単射という。
例と解説
集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
は単射である。
なぜなら、
$Y$ の像の各元が
$X$ の唯一つの元の像になっているからである。
正確には、
であることから、
写像 $f$ に対して
が成り立っているので、
$f$ は単射である。
一方、集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
は単射ではない。
なぜなら、$Y$ の元 $8$ は $X$ の元 $2$ の像でもあり、$4$ の像でもあるからである。
正確には、$X$ の異なる元 $2$ と $4$ に対して、
が成り立つので、
$f$ は単射ではない。
このように、
$f$ を対応図で表したときに、
$Y$ の元に矢印が一本だけ到達している場合には、
$f$ は単射である。
全単射
写像 $f$ が
全射かつ
単射であるとき、
全単射 (bijection)であるという。
すなわち、
集合 $X$ から 集合 $Y$ への写像 $f$ が
が成り立つとき、$f$ が全単射であるという。
例と解説
集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
を調べる。
$Y$ の全ての元が $X$ の元の像になっているので、
正確には、
であるので、
$f$ は
全射である。
また、
であることから、
が成り立つので、
$f$ は単射である。
以上から $f$ は全単射である。
一方、集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
は全単射ではない。
なぜなら、$Y$ の元 $9$ は $X$ の元の写像になっていないからである。
正確には、
$X$ の
像 $\mathrm{Im} \hspace{0.5mm} f$ が
であるので、
$f$ は全射ではない。したがって、$f$ は全単射ではない。
また、集合 $X$ から集合 $Y$ への以下の写像
もまた全単射ではない。
なぜなら、$Y$ の元 $7$ は $X$ の元 $2$ の像でもあり、$4$ の像でもあるからである。
正確には、$X$ の異なる元 $2$ と $4$ に対して、
が成り立つので、
$f$ は単射ではない。
したがって、全単射でもない。
逆写像の存在
$X$ から $Y$ への
写像
が
全単射のとき、
任意の $y \in Y$ に対して、
$f(x)=y$ となる $x \in X$ が唯一つ存在する
(下の解説を参考)。
それゆえ、
$Y$ から $X$ への
写像
が存在する。
$g$ を $f$ の
逆写像 (逆像、inverse map) といい、
$f^{-1}$ と表される。
このとき、
が成り立つ。
解説
$f$ は
全射であるので、
任意の $y \in Y$ に対して、
$y=f(x)$ となる $x \in X$ が存在する。
また、$f$ は
単射であるので、
$X$ の異なる二つの任意の元
$x_{1}, x_{2}$ のそれぞれの像 $f(x_{1}), f(x_{2})$ が一致することはない。
すなわち、
が成り立つ。
これは、
任意の $y \in Y$ に対して、
$y=f(x)$ となる
$x \in X$ が唯一つであることを表している。
したがって、
任意の $y \in Y$
を $x \in X$ にする
$Y$ から $X$ への
写像を定義できる。
それを $f^{-1}$ と表すと、
である。
$f^{-1}$ を $f$ の逆写像といい、
$y=f(x)$ に対して、$x=f^{-1}(y)$ が成り立つ。
これを用いると、
合成写像
$f \circ f^{-1}$
は
を満たす。
よって、
$f \circ f^{-1}$ は
$Y$ 上の
恒等写像である。
すなわち、
である。
同じように、任意の $x \in X$ に対して、
が成り立つ。
よって、
$f^{-1} \circ f$ は
$X$ 上の
恒等写像である。
すなわち、
である。
補題: $g\circ f =I \Longrightarrow$ $\{$ $f$ は単射、$g$ は全射 $\}$
集合
$X$ から集合
$Y$ への
写像を $f$ とし、
$Y$ から集合
$X$ への
写像を $g$ とし、
$X$ 上の
恒等写像を
$I_{X}$ とする。すなわち、
とする。
このとき、
$f$ と $g$ の合成写像が $X$ 上の恒等写像に等しいならば、
$f$ は
単射であり、
$g$ は
全射である。
すなわち、
が成り立つ。
証明
$f$ は単射
が成り立つとする。
このとき、
$x_{1}, x_{2} \in X$
に対して、
である。また、
$f(x_{1})=f(x_{2})$
であるならば、
が成り立つ。
これらより、
である。すなわち、
が成り立つ。対偶をとると、
であるので、
$f$ は
単射である。
$g$ は全射
任意の $x \in X$ に対して、
が成り立つ。
$f(x) = y$
とすると、$y \in Y$ であり、
と表される。
これは
任意の $x \in X$ に対して、
$g(y)=x$ となる $Y$ の元 $y$ が存在することを表している。
したがって、
$g$ は
全射である。
逆写像は全単射
逆写像は
全単射である。
証明
$f$ を
集合 $X$
から集合 $Y$
への
写像とする。
このとき、
$f$ とその逆写像
$f^{-1}$
から成る合成写像には、
$$
\tag{7.1}
$$
が成り立つ (
こちらを参考)。
ここで $I_{X}$
と $I_{Y}$
はそれぞれ
$X$
と
$Y$ 上の
恒等写像である。
補題より、
$(7.1)$
の第一式から $f^{-1}$ は全射であることが分かる。
第二式から $f^{-1}$ は単射であることが分かる。
従って、
逆写像
$f^{-1}$
は
全単射である。
例題
以下の写像は全射・単射・全単射であるか。あるいはいずれでもないのか。
($\mathbf{R}$ は実数全体、$\mathbf{N}$ は自然数全体)
解答例
$(1)$ の解答
写像
の写像先の集合 $\mathbf{N}$ (右側の $\mathbf{N}$) の元の中には、像でない元がある。
例えば $1$ と $3$ はいずれも $f$ の像ではない (下図参考)。
従って、$\mathrm{Im} f \neq \mathbf{N}$ であるので、$f$ は
全射ではない。
一方、$f$ の像には必ず一本の矢印が向いている。正確には
が成り立つので、$f$ は
単射である。
$(2)$ の解答
写像
において集合 $ [0, \hspace{1mm} \infty) $ の任意の元は
$\mathbf{R}$ の像になっている。
例えば $ [0, \hspace{1mm} \infty) $ の元 $2$ は
$\mathbf{R}$ の元 $-\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ の像である
(下図参考)。
したがって、$f$ は
全射である。
一方、$f$ の像の各元は
$\mathbf{R}$ の二つの元の像になっている。
例えば、元 $2$ は
$\mathbf{R}$ の元 $-\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ の二つの元の像である
(上図参考)。
すなわち、
におい
であるので、
$f$ は
単射ではない。