べき級数と収束半径

	べき級数
-	定義
-	具体例

	x=$r_{0}$ で収束
-	⇒ $[-c,\hspace{0.5mm} c] \hspace{1mm} (c \lt r_{0})$ で一様収束
-	⇒ $x \lt \|r_{0}\|$ の任意の閉区間で一様収束
-	⇒ $x \lt \|r_{0}\|$ の各点で絶対収束
-	補足

	収束半径
-	定義
-	具体例
-	求め方1 (コーシー)
-	求め方2 (ダランベール)

べき級数

関数列 $ \{ a_{n}(x-a)^{n} \} $ による関数項級数

$$ \tag{1.1} $$ を $x=a$ を中心とするべき級数 (冪級数, power series) または整級数という。 $x-a=y$ とすると、 \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}y^{n} \end{eqnarray} $$ \tag{1.2} $$ と $y=0$ を中心とするべき級数になる。 $(1.2)$ から $(1.1)$ に戻すことは容易なので、以下では、 $0$ を中心とするべき級数

だけを議論する。 $a_{n}$ を係数列という。

具体例 (べき級数)

例1: 幾何級数

例2: 指数関数

例3: 三角関数 (cos)

例4: 多項式

は、

のときのべき級数

である。

$x=r_{0}$ で収束
⇒ $[-c,\hspace{0.5mm} c] \hspace{1mm} (c \lt |r_{0}|)$ で一様収束

べき級数

$$ \tag{3.1} $$ するならば、

は $[-c,\hspace{0.5mm} c] \hspace{1mm} (0 \lt c \lt |r_{0}|)$ で一様収束する。

証明
$(3.1)$ より、数列 $\{ a_{n} r_{0}^{n} \}$ は $0$ に収束する (「級数が収束 ⇒ 数列が $0$ に収束」を参考)。よって、 $\{ a_{n} r_{0}^{n} \}$ は有界列である (「収束列 ⇒ 有界列」を参考)。よって、$\{ a_{n} r_{0}^{n} \}$ には下限 $L$ と上限 $U$ が存在する。すなわち、

である。ここで、 $|L|$ と $|U|$ の大きいほうを $M$ と表すと、すなわち、

とすると、

$$ \tag{3.2} $$ が成り立つ。ここで、$c$ を

を満たす数とすると、 $(3.2)$ より

$$ \tag{3.3} $$ が成り立つ。 $0 \leq p \lt 1$ であるから、等比級数の性質により、

$$ \tag{3.4} $$ $(3.3)$ $(3.4)$ より、比較判定法によって、

は $[-c,\hspace{0.5mm} c] \hspace{1mm} (0 \lt c \lt |r_{0}|)$ で一様収束することが分かる。

$x=r_{0}$ で収束
⇒ $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ 内の任意の閉区間で一様収束

べき級数

$$ \tag{4.1} $$ するならば、

は $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ 内の任意の閉区間で一様収束する。

証明
区間 $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ 内の任意の閉区間を $[a,\hspace{0.5mm} b ] $ とすると、

が成り立つ。また、 $ |\frac{-r_{0}+a}{2} |$ と $ | \frac{b+r_{0}}{2} | $ の大きい方を $c$ とすると、

$$ \tag{4.2} $$ が成り立つ。これと上の議論から

するならば、

$$ \tag{4.3} $$ は $[-c,\hspace{0.5mm} c] $ で一様収束する。 $(4.2)$ より $[a,b] \in [-c,\hspace{0.5mm} c] $ であるから、級数 $(4.3)$ は区間 $[a,b]$ で一様収束する。

$x=r_{0}$ で収束
⇒ $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ 内で絶対収束

べき級数

$$\tag{5.1} $$ するならば、 $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ 内の任意の点で絶対収束する。

証明
上の議論と $(5.1)$ より、

$$ \tag{5.2} $$ は $(-r_{0},\hspace{0.5mm} r_{0})$ の任意の閉区間で一様収束する。 $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ の任意の点を $c$ とすると、

が成り立つので、

$$ \tag{5.3} $$ である。よって、べき級数 $(5.2)$ は区間 $ \big[ \frac{-r_{0}+c}{2}, \hspace{0.5mm} \frac{c+r_{0}}{2} \big] $ で一様収束する。一様収束するならば各点収束するので、 $(5.2)$ は区間 $ \big[ \frac{-r_{0}+c}{2}, \hspace{0.5mm} \frac{c+r_{0}}{2} \big] $ で各点収束する。よって $(5.2)$ は $x=c$ で収束する ( $\because (5.3)$ )。言い換えると、

は、$x=c$ で絶対収束する。

上の議論より、級数 \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \hspace{1mm} \small \mathrm{が} \hspace{2mm} \normalsize x=r_{0} \hspace{2mm}\small で収束する \end{eqnarray} ならば、 \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \end{eqnarray} は $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ 内の任意の点で絶対収束する。一般にある級数が絶対収束するならばその級数は収束するので、 \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \end{eqnarray} は $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ の各点で収束する。

収束半径

上の議論より、べき級数

が $x=r_{0}$ で収束するならば、 $(-r_{0},\hspace{1mm} r_{0}) $ で収束する。

したがって、もしも $r_{0}$ よりも絶対値が大きい値 $x=r_{1}$ で収束することが分かれば、より大きな範囲 $(-r_{1},\hspace{1mm} r_{1}) $ で収束することが分かる。よって、 $r_{0}$ や $r_{1}$ よりも大きく、その値よりも大きくなると収束しないという限界の値が分かれば、議論がまとまる。
そこで、次のような概念を定義する。すなわち、 \begin{eqnarray} |x| \lt r \end{eqnarray} ならば、べき級数が収束し、 \begin{eqnarray} |x| \gt r \end{eqnarray} ならば収束しない。このような $r$ を収束半径 (radius of convergence) という。
収束半径が $r$ のべき級数は、 $ |x| \lt r $ の範囲で収束し、 $ |x| \gt r $ の範囲で収束しない。 $x=r$ で収束するかどうかは分からず、個々のべき級数によって収束したりしなかったりする。
したがって、収束半径 $r$ のべき級数は、大きくてもせいぜい $|x| \leq r $ の範囲で収束する。これは、べき級数が収束する $|x|$ の上限が $r$ であることを意味する。そこで、収束半径を