優級数定理 (比較判定法)
| 目次 | |
|---|---|
| - | 優級数定理 (比較判定法) |
| - | 例題 |
| - | 補足1 |
| - | 補足2 |
| - | 優級数判定法 (関数項級数) |
| - | 例題 |
優級数定理 (比較判定法)
各項が $0$ 以上である級数
証明
数列 $S_{n}$ と $T_{n}$ を
と定義する。
この定義を用いると、
$S$ と $T$ はそれぞれ
と表される。
$a_{n+1} \geq 0$ であるので、
が成り立つ。
すなわち、
$S_{n}$ は単調増加数列である。
これより、
が成り立つ。
$(1.1)$ より、
が任意の $n$ について成り立つので、
が成り立つ。よって、
を得る。
これと
$(1.2)$
より、
$S_{n}$ が有界な数列であることが分かる。
以上から、 $S_{n}$ は有界な単調増加数列であるので、極限
は収束する (補足2を参考)。
数列 $S_{n}$ と $T_{n}$ を
以上から、 $S_{n}$ は有界な単調増加数列であるので、極限
例:
等比級数
は交差 $\frac{1}{2}$ が $1$ よりも小さいので収束する。
実際に極限値は、
である。
ここで $2$ 行目の等号では等比数列の和の公式を用いた。
この結果と優級数定理を用いると、 次の級数
が収束することが分かる。
なぜなら、
とすると、
が成り立ち、
が収束するので、
優級数定理によって、
もまた収束するといえる。
等比級数
この結果と優級数定理を用いると、 次の級数
補足1:
上記定理では、 全ての $n$ に対して \begin{eqnarray} 0 \leq a_{n} \leq b_{n} \end{eqnarray} が成り立つことを仮定したが、 そこまで仮定しなくても、 ある $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して成り立っていれば証明される。
実際、 級数を第 $N$ 項までの和とそれ以上のものに分けて、 \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{i=1}^{N-1} a_{n} + \sum_{i=N}^{\infty} a_{n} \end{eqnarray} のように表したとき、 $\sum_{i=1}^{N-1} a_{n}$ の部分は有限な値になるので、 収束が問題となるのは、残りの $\sum_{i=N}^{\infty} a_{n}$ の部分のみである。 この部分に対して、 同様の議論を行えば上記定理が成り立つことが証明される。
上記定理では、 全ての $n$ に対して \begin{eqnarray} 0 \leq a_{n} \leq b_{n} \end{eqnarray} が成り立つことを仮定したが、 そこまで仮定しなくても、 ある $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して成り立っていれば証明される。
実際、 級数を第 $N$ 項までの和とそれ以上のものに分けて、 \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{i=1}^{N-1} a_{n} + \sum_{i=N}^{\infty} a_{n} \end{eqnarray} のように表したとき、 $\sum_{i=1}^{N-1} a_{n}$ の部分は有限な値になるので、 収束が問題となるのは、残りの $\sum_{i=N}^{\infty} a_{n}$ の部分のみである。 この部分に対して、 同様の議論を行えば上記定理が成り立つことが証明される。
補足2:
有界な単調増加数列が収束することは実数の公理の一つであり、 微積分の出発点である。 その他の公理から微積分を構成することも可能であるが、 それらは互いに同値である。
有界な単調増加数列が収束することは実数の公理の一つであり、 微積分の出発点である。 その他の公理から微積分を構成することも可能であるが、 それらは互いに同値である。
優級数判定法
区間 $I$ 上の関数列
$ \{ f_{n}(x) \} $
と数列
$\{ a_{n} \}$
に対して、
これより $(5.1)$ と $(5.2)$ を満たす数列 $\{ a_{n} \}$ が見つかれば、 関数項級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ の一様収束性が保証される。 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $ を $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ に対する 優級数という.。
証明
$(5.1)$ より、 各 $x \in I$ において、
が収束する
(比較法)。
したがって、
は収束する (「絶対収束⇒収束」を参考)。
そこで、
$$
\tag{5.4}
$$
と表す。
ここで
$(5.2)$
より、
とすると
($L$ は極限値)、
が成り立つ。
したがって、
任意の正の
$\epsilon$
に対して、
$$
\tag{5.5}
$$
を満たす $M$ が存在する。
すると、
$(5.3)$
$(5.4)$
と三角不等式と
$(5.1)$
と
$(5.5)$
より、
任意の $x \in I$
に対して、
$ M \lt m $
ならば
$$
\tag{5.6}
$$
が成り立つ。
以上のように、 任意の正の $\epsilon$ に対して、 区間 $I$ 上の全ての $x$ に渡って $(5.6)$ を成り立たせる (共通の) 自然数 $M$ の存在が確かめられたので、 区間 $I$ 上で $S_{m}(x)$ は $f(x)$ に一様収束する。
$(5.1)$ より、 各 $x \in I$ において、
以上のように、 任意の正の $\epsilon$ に対して、 区間 $I$ 上の全ての $x$ に渡って $(5.6)$ を成り立たせる (共通の) 自然数 $M$ の存在が確かめられたので、 区間 $I$ 上で $S_{m}(x)$ は $f(x)$ に一様収束する。
例題 (優級数判定法)
次の関数列
解答例
$$
\tag{6.2}
$$
が成り立ち、
$$
\tag{6.3}
$$
が成り立つ。
ここで、$e$ はネイピアの定数である
(「ネイピア数の級数による表現を参考」)。
$(6.2)(6.3)$
から
$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}
$
は
$
\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)
$
の優級数である。
よって、
$(6.1)$ は一様収束する
(「優級数判定法」を参考)。