優級数定理

優級数定理と証明

無限に続く数列 $\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ の各項が

を満たすとき、 $\{b_{n }\}$ による級数

が収束するならば、 $\{ a_{n} \}$ による級数

も収束する。これを優級数定理という。

証明
数列 $\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ の各項が

を満たし、

が収束すると仮定する ( すなわち、$T$ がある有限な値であると仮定する )。
また数列 $S_{n}$ と $T_{n}$ を

と定義する。この定義を用いると、 $S$ と $T$ はそれぞれ

と表される。
$a_{n+1} > 0$ であるので、

が成り立つ。すなわち、 $S_{n}$ は単調増加数列である。これより、

が成り立つ。
ところで、

であることから、

が任意の $n$ について成り立つので、

が成り立つ。以上から

を得る。 $T$ は有限な値であるので、 $S_{n}$ が有界な数列であることが分かる。
以上から、 $S_{n}$ は有界な単調増加数列であるので、極限

は収束する (補足2を参考)。

例:
等比級数

は交差 $\frac{1}{2}$ が $1$ よりも小さいので収束する。実際に極限値は、

である。ここで $2$ 行目の等号では等比数列の和の公式を用いた。
この結果と優級数定理を用いると、次の級数

が収束することが分かる。なぜなら、

とすると、

が成り立ち、

が収束するので、優級数定理によって、

もまた収束するといえる。

補足1:
ここで議論した優級数定理では、全ての $n$ に対して

が成り立つことを仮定したが、そこまで仮定しなくても、ある $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して成り立っていれば、優級数定理が証明される。
実際、級数を第 $N$ 項までの和とそれ以上のものに分けて、

のように表したとき、 $\sum_{i=1}^{N-1} a_{n}$ の部分は有限な値になるので、収束が問題となるのは、残りの $\sum_{i=N}^{\infty} a_{n}$ の部分のみである。この部分に対して、上の証明と同様の議論を行えば優級数定理が成り立つことが分かる。

補足2:
有界な単調増加数列が収束することは実数の公理の一つであり、微積分の出発点である。その他の公理から微積分を構成することも可能であるが、それは互いに同値である。