数列の収束/発散とは?
数列の収束と極限値
$\{ a_{n} \}$ を数列とする。
$\alpha$ を実数とする。
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
ある自然数 $N$ が存在し、
その $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
$$
\tag{1.1}
$$
が成り立つとき
(下図)、数列 $\{ a_{n} \}$
が $\alpha$ に
収束する (convergent) という。
$\alpha$ を数列 $\{ a_{n} \}$
の
極限値または
極限という。
数列 $\{ a_{n} \}$
が極限値 $\alpha$ に収束することは、記号によって、
または
などと表される。
補足
$\epsilon$ は任意の正の数であるので、
$(1.1)$ の幅は幾らでも小さく考えてもよい。
そういう意味で数列の極限は次のように解釈できる。
すなわち、数列 $a_{n}$ は $n$ を大きくしてゆくと、
極限値
$\alpha$ を中心とするどんな小さな幅の中にも収まってしまう。
$(1.1)$ を書き直すと、
$
|a_{n} - \alpha | \lt \epsilon
$
であるので、
数列 $a_{n}$
が $\alpha$ に収束することは、
次のように言い表される。
すなわち、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
ある自然数 $N$ が存在し、
その $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。論理記号を用いると、
$$
\tag{1.2}
$$
である。
ここで $\forall$ は「任意の」を表し、$\exists$ は「存在する」を表す。
また、$\mathbb{N}$ は自然数を表す。
例
数列 $\{ \frac{1}{n} \}$ が
$0$ に収束すること
を証明する。
任意の正の数
$\epsilon$
に対して、
$1 \lt N \epsilon$
を満たす自然数 $N$ が存在する。
これより、$N \lt n $
であるならば、
$1 \lt n \epsilon$
が成り立ち、ここから
が成り立つ。
よって、
数列
$\{ \frac{1}{n} \}$
は
$0$
に収束する。
発散
数列 $\{ a_{n} \}$ が
収束しないとき、
$\{ a_{n} \}$ が
発散する
(divergent)
という。
また、
任意の正の数 $L$ に対し、
ある自然数 $N$ が存在し、
その $N$ 以上の全ての自然数 $n$ に対して、
\begin{eqnarray}
L \lt a_{n}
\end{eqnarray}
が成り立つとき、
$\{ a_{n} \}$
が
$+\infty$
に発散するという。
同様に
任意の負の数 $M$ に対し、
ある自然数 $N$ が存在し、
その $N$ 以上の全ての自然数 $n$ に対して、
\begin{eqnarray}
a_{n} \lt M
\end{eqnarray}
が成り立つとき、$\{ a_{n} \}$
が
$-\infty$
に発散するという。
例
よって、
数列
$\{ n \}$
が
$+ \infty $
に発散すること
を証明する。
任意の正の数
$L$
に対して、
$L \lt N $
を満たす自然数
$N$
が存在する。
これより、
$N \leq n $
であるならば、
$$L \lt n
$$
が成り立つ。
よって、
数列
$\{ n \}$
は
$+ \infty $
に発散する。
確定
数列
$\{ a_{n} \}$
が「
収束する」
または
「$\pm \infty$ に
発散する」とき、
$\{ a_{n} \}$ が
確定するという。
フロー図で表すと以下の通り。
和の極限
数列の和の極限は、それぞれの極限値の和に等しい。
すなわち、
$$
\tag{4.1}
$$
が成り立つ。
証明
はじめに
であるとすると、
極限の定義より
任意の正の $\epsilon_{a}$ と $\epsilon_{b}$ に対して、
ある自然数 $N_{a}$ と $N_{b}$ が存在し、
$n > N_{a}$ であるならば、
$$
\tag{4.2}
$$
が成り立ち、
$n > N_{b}$ であるならば、
$$
\tag{4.3}
$$
が成り立つ。
したがって、
と $N$ を定義すると、
$n \gt N$ であるならば、
$n \gt N_{a}$ かつ $n > N_{b}$ であるので、
$(4.2)$ と $(4.3)$ と
三角不等式により、
$$
\tag{4.4}
$$
が成り立つ。
ここで
$\epsilon_{a}$ と $\epsilon_{b}$ は任意の正の数であるので、
$(4.4)$ は
$$
\tag{4.5}
$$
の場合でも成り立つ。ここで
$\epsilon$ は任意の正の数である。
ゆえに、
$n \gt N$ であるならば、
$(4.4)$ が成り立ち、
$(4.5)$ を用いると、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して
が成り立つ
($N$ が存在する)。
したがって
である。
補題1
であるならば、
全ての $n$ に対して
を満たす数 $M$ が存在する。
証明
極限の定義より
であるならば、
任意の正の $\epsilon$ に対して、
ある自然数 $N$ が存在し、
$n > N$ である全ての $n$ に対して
が成り立つ。これより、
であるので、
と $M'$ を定義すると、$n > N$ の場合には、
が成り立つ。
一方で、$n \leq N$ の場合には成り立つとは限らない。
そこで、$n \leq N$ の場合の $|a_{n}|$ に
$M'$ を含めた集合の最大値を $M$ と定義すると、
すなわち、
とすると、$M$ は $n \leq N$ の場合の $|a_{n}|$ 以上であり、
なおかつ、$n > N$ の場合の $|a_{n}|$ よりも大きな数になる。
したがって、$M$ は全ての $n$ に対して、
を満たす数である。
ゆえに、このような $M$ が存在する。
積の極限
数列の積の極限は、それぞれの極限値の積に等しい。
すなわち、
$$
\tag{6.1}
$$
が成り立つ。
証明
とすると、
極限の定義より
任意の正の $\epsilon_{a}$ と $\epsilon_{b}$ に対して、
ある自然数 $N_{a}$ と $N_{b}$ が存在し、
$n > N_{a}$ であるならば、
$$
\tag{6.2}
$$
が成り立ち、
$n > N_{b}$ であるならば、
$$
\tag{6.3}
$$
が成り立つ。
また
補題1より、すべての $n$ に対して
$$
\tag{6.4}
$$
を満たす $M$ が存在する。
したがって、
と $N$ を定義すると、
$n \gt N$ であるならば、
$n \gt N_{a}$ かつ $n \gt N_{b}$ であるので、
$(6.2)$ $(6.3)$ $(6.4)$
と
三角不等式により、
$$
\tag{6.5}
$$
が成り立つ。
$\epsilon_{a}$ と $\epsilon_{b}$ は任意の正の数であるので、
$(6.5)$ は
$$
\tag{6.6}
$$
の場合でも成り立つ。
ここで
$\epsilon$ は任意の正の数である ( ここで $\beta\neq 0$ としたが、
$\beta=0$ の場合には $\epsilon_{b}$ を任意の正の値とする)。
ゆえに、
$n>N$ であるならば、
$(6.5)$ が成り立ち、
$(6.6)$ を用いると、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して
が成り立つ
($N$ が存在する )。
よって、
である。
補題2
であるならば、
全ての $n$ に対して
を満たす数 $L$ が存在する。
証明
極限の定義より
であるならば、
任意の正の $\epsilon$ に対して、
$n > N$ であるならば、
が成り立つ自然数 $N$ が存在する。これより、
が成り立つので、
$L' = \min[ |\alpha + \epsilon|, |\alpha - \epsilon| ] $ と定義すると、
が $n > N$ の場合に成り立つ。
一方で、$n \leq N$ の場合には成り立つとは限らない。
そこで、$n \leq N$ の場合の $|a_{n}|$ に
$L'$ を含めた集合の最小値を $L$ と定義すると、
すなわち、
とすると、$L$ は $n \leq N$ の場合の $|a_{n}|$ 以下であり、
なおかつ、$n > N$ の場合の $|a_{n}|$ よりも小さい数になる。
したがって、$L$ は全ての $n$ に対して、
を満たす数である。
よって、このような $L$ が存在することが示された。
商の極限
数列の商の極限は、それぞれの極限値の商に等しい。
すなわち、
$$
\tag{8.1}
$$
が成り立つ。
ただし、$\beta \neq 0$ とする。
証明
$\beta \neq 0$ に対して、
とすると、
極限の定義より
任意の正の $\epsilon_{b}$ に対して、
ある自然数 $N_{b}$ が存在し、、
$n > N_{b}$ であるならば、
$$
\tag{8.2}
$$
が成り立つ。
また
補題2より、すべての $n$ に対して
$$
\tag{8.3}
$$
を満たす $L$ が存在する。
これらを踏まえて初めに
を証明する。
$n >N_{b}$ を満たす $n$ には、
$(8.2)$ と $(8.3)$ より、
$$
\tag{8.4}
$$
が成り立つ。
$\epsilon_{b}$ は任意の正の数であるので、
$$
\tag{8.5}
$$
の場合でも $(8.4)$ は成り立つ。ここで $\epsilon$ は任意の正の数である。
ゆえに、 $n>N_{b}$ であるならば、
$(8.4)$ が成り立ち、
$(8.5)$ を用いると、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して
が成り立つ。よって、
$$
\tag{8.6}
$$
である。
続いて
を証明する。
$(8.6)$ において
$\frac{1}{b_{n}} = c_{n}$ とすると、
である。
ここで
が成り立つとすると、
数列の積の極限の性質より、
である。
$\frac{1}{b_{n}} = c_{n}$ であったので、
である。
その他性質
大小関係がある場合の極限
数列 $\{ a_{n} \}$ と $\{ b_{n} \}$ に大小関係
があり、ともに収束する数列であるならば、
極限値にも同じ大小関係が成り立つ。
すなわち、
$$
\tag{9.1}
$$
が成り立つ。
証明
数列の和の極限が極限値の和に等しいことから、
が成り立つが
と置き、$c \lt 0$ と仮定すると、
極限の定義から、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
$n > N$ を満たす全ての $n$ に対して、
$$
\tag{9.2}
$$
が成り立つ自然数 $N$ が存在する。
$c \lt 0$ であるので、
$$
\tag{9.3}
$$
を満たすほど小さな正の数 $ \epsilon'$ が存在するが、
このような $\epsilon'$
に対しても $(9.2)$ は成り立つ。
すなわち、
$(9.3)$ を満たす正の数 $\epsilon'$ に対して、
$n > N'$ を満たす全ての $n$ に対して、
が成り立つ自然数 $N'$ が存在する。
このとき、
であるが、
これは
$
a_{n}\leq b_{n}
$
と矛盾する。
ゆえに
$c \geq 0$ である。これより、
が成り立つので、
である。
有界な数列の極限
数列 $\{ a_{n} \}$ がある値 $C$ よりも小さな値であるとき、
$\{ a_{n} \}$ の極限値が $C$ より大きな値になることはない。
すなわち、
$$
\tag{10.1}
$$
が成り立つ。
証明
数列 $\{ a_{n} \}$ がある値 $C$ よりも小さいとする(上に有界であるとする)。
$$
\tag{10.2}
$$
また、数列 $\{ a_{n} \}$ は収束し、
その極限値を $\alpha$ とする。
$$
\tag{10.3}
$$
これらのもとで背理法を用いて
$\alpha \leq C$ であることを証明する。
そこで、
と仮定する。
このとき
$$
\tag{10.4}
$$
と置くと、$\epsilon \gt 0$ であるので、
$(10.3)$ から
$n \gt N$ であるならば、
となる自然数 $N$ が存在する (
数列の極限の定義を参考) 。
このとき、
であるので、
$(10.4)$ から
である。
これは $(10.2)$ と矛盾するので、
である。すなわち、
が成り立つ。
平均の極限
数列 $\{ a_{n} \}$ 極限が
確定するならば、
平均の極限が同じ極限を持つ。
すなわち、
であるならば、
が成り立つ。
証明
極限が有限の場合と無限の場合に分けて証明する。
有限の場合
数列 $\{ a_{n} \}$ が
$$
\tag{11.1}
$$
と有限値 $\alpha$ に収束する場合を考える。
$(11.1)$ より、
任意の正の $\epsilon_{1}$ に対して、
自然数 $N_{1}$ が存在し、
$N_{1} \lt n$ である全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。
このとき、
と置くと、
三角不等式から
$$
\tag{11.2}
$$
が成り立つ。
右辺は $n \rightarrow \infty$ の極限において
$\epsilon_{1}$ に収束する。
すなわち、
が成り立つ。よって、
任意の正の数 $\epsilon_{2}$
に対して、
ある自然数 $N_{2}$ が存在し、
$N_{2} \lt n$ である全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。これより、
$$
\tag{11.3}
$$
が成り立つ。
$(11.2)$ は $N_{1} \lt n$
という条件のもとに成り立ち、
$(11.3)$ は $N_{2} \lt n$
という条件のもとに成り立つ。
よって、
$N_{1}$ と $N_{2}$ の大きい方を $N$ とすると、
すなわち、
$$
\tag{11.4}
$$
とすると、
$N \lt n$ を満たす全ての $n$ において、
$(11.2)$ と $(11.3)$ の両方が成り立つ。
また、$(11.3)$
において、
$$
\tag{11.5}
$$
とすると、
$\epsilon_{1}$ と $\epsilon_{2}$ は任意の正の数であるから、
$\epsilon$ もまた任意の正の数である。
以上 $(11.2)$ $(11.3)$ $(11.4)$ $(11.5)$
から任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
自然数 $N$ が存在し、
$N \lt n$ を満たす全ての自然数 $n$ において、
が成り立つ。よって、
である。
無限の場合
数列 $\{ a_{n} \}$ が
$$
\tag{11.6}
$$
と正の
無限大に発散する場合を考える。
$(11.6)$ より、
任意の正の $L_{1}$ に対して、
自然数 $N_{1}$ が存在し、
$N_{1} \leq n$ である全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。
このとき、
と置くと、
$$
\tag{11.7}
$$
が成り立つ。
右辺は $n \rightarrow \infty$ の極限において
$L_{1}$ に収束する。
すなわち、
が成り立つ。よって、
任意の正の数 $\epsilon_{2}$
に対して、
ある自然数 $N_{2}$ が存在し、
$N_{2} \lt n$ である全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。
$\epsilon_{2}$
が任意なので、
$\epsilon_{2} = \frac{L_{1}}{2}$ であったとすると、
である。
これより、
$$
\tag{11.8}
$$
が成り立つ。
$(11.7)$ は $N_{1} \leq n$
という条件のもとに成り立ち、
$(11.8)$ は $N_{2} \lt n$
という条件のもとに成り立つ。
よって、
$N_{1}$ と $N_{2}$ の大きい方を $N$ とすると、
すなわち、
$$
\tag{11.9}
$$
とすると、
$N \lt n$ を満たす全ての $n$ において、
$(11.7)$ と $(11.8)$ の両方が成り立つ。
また、$L_{1}$ が任意の正の数であるから、
$\frac{L_{1}}{2} $ もまた任意の正の数である ($L $ と表す)。
以上
$(11.7)$ $(11.8)$
$(11.9)$
より、
任意の正の数 $L$ に対して、
ある自然数 $N$ が存在し、
$N \lt n$ を満たす全てに自然数に対して、
が成り立つ。したがって、
である。
なお、負の無限大 ($-\infty$) に発散する場合には、
$-a_{n}$ に対して同様の議論を展開すれば証明される。
絶対値の極限が 0 の場合
数列の絶対値が0に収束する場合、もとの数列も0に収束する。
$$
\tag{12.1}
$$
証明
極限の定義から
とは、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
ある自然数 $N$ が存在し、
$$
\tag{12.2}
$$
が成り立つことである。ここで
であるので、
$(12.2)$ から
が成り立つ。
よって、
である。