コーシー・アダマールの定理

証明
  三つのケースに分けて証明を行い、最後にまとめを記す。 極限の が収束し、 なおかつ の場合を考える。 任意の $x$ に対して $\{|a_{n} x^{n}| \}$ は数列を成す。 この数列に対して、 コーシーの判定法 (収束) を適用すると、 が成り立つ。 ここで、 $$ \tag{1.1} $$ であることを用いると、 と書き直せる。 一般に 級数が絶対収束すれば収束するので、 $$ \tag{1.2} $$ が成り立つ。 以上から、 $$ \tag{1.3} $$ が成り立つ。
  一方逆に、 の場合、 $(1.1)$ から である。これを $\epsilon$ 論法で表すと、 ある自然数 $N$ が存在し、 $N \leq n$ である全ての自然数 $n$ に対して、 が成り立つ。 よって、 $N \leq n$ である $n$ に対して (十分に大きな $n$ に対して) が成り立つので、 数列 $\{ a_{n} x^{n} \}$ は $0$ に収束しない。したがって、級数 $ \sum a_{n} x^{n} $ は発散する (「 数列が $0$ に収束しない級数は発散する」を参考 )。 以上から $$ \tag{1.4} $$ が成り立つ。
  以上 $(1.3)$ と $(1.4)$ から 級数 $\sum a_{n}x^{n}$ 収束半径 $r$ は $$ \tag{1.5} $$ である。 次に、 の場合を考える。 任意の $x$ に対して、 が成り立つ。よって、 コーシーの判定法 (収束) と $(1.2)$ から級数 $\sum a_{n}x^{n}$ が収束することが分かる。 このことが任意の $x$ について成り立つので、 収束半径は である。 最後に、 の場合を考える。 $x \neq 0$ に対しては、 であるので、 コーシーの判定法 (発散) より、級数 $\sum a_{n}x^{n}$ は発散する。 また、明らかにこの級数は、$x=0$ で収束するので、 収束半径は、 である。 以上まとめると、 級数 $\sum a_{n}x^{n}$ の収束半径 $r$ は、 である。 ただし、一行目は $\lim \sqrt[n]{|a_{n}|} $ が収束する場合に限る。 二行目について $\frac{1}{0} = \infty$ と表すことにし、 三行目について $\frac{1}{\infty} = 0$ と表すことにすると、 上記の結果は次のようにまとめられる。 すなわち、 が確定するならば、 収束半径 $r$ は である。