級数の収束と発散
| 定義と具体例 | |
|---|---|
| - | 級数とは？ |
| - | 具体例 1: (級数) |
| - | 収束と発散とは？ |
| - | 具体例 2: (収束・発散) |
| 基本的性質 | |
|---|---|
| - | $\sum a_{n}$ が収束 ⇒ $\lim a_{n} = 0$ |
| - | 補足 |
| - | $\sum a_{n}$ が収束 ⇒ $\{ a_{n} \}$ が有界 |
| - | $\sum a_{n}$ が収束 ⇔ $\small \lim_{m,n \rightarrow \infty} | \sum_{k=n}^{m} a_{k} | = 0 \normalsize$ |
級数とは？
数列 $\{ a_{n} \}$ の和を
具体例 1: (級数)
以下はよく知られた級数
調和級数
収束と発散とは？
数列 $\{ a_{n} \}$ の和
また、級数が収束しないとき発散するという。 発散する級数の中には、 級数が $+\infty$ になるものがある。このような級数は、
級数が収束する場合、 または $+ \infty$ になる場合、 または $- \infty$ になる場合、 級数の和が確定するという。
したがって、級数は大きく分けて次の3つに分類される (下記例を参考)。
- 収束する。
- 発散し、和が確定する。
- 発散し、和が確定しない。
具体例 2: (収束・発散)
$r \lt 1$ の場合、等比級数は
$\sum a_{n}$ が収束 $\hspace{1mm} \Longrightarrow \hspace{1mm}$ $\lim a_{n} = 0$
級数
証明
数列 $a_{n}$ の和を
と表すと、
$$
\tag{1}
$$
である。
仮定より、級数が収束するので、
極限値を $\alpha$ (有限の値) と置くと、すなわち、
とすると、
$(1)$ より、
を得る。ここで極限の和の性質を用いた。
数列 $a_{n}$ の和を
補足
上記の定理の対偶から次の関係を得る。 すなわち、 数列 $ \{ a_{n} \}$ が $0$ に収束しないならば、すなわち、
であるならば、
級数
は発散する。
例えば、$r=1$ の場合の等比級数
は、各項の極限が
であるので発散する。
上記の定理の対偶から次の関係を得る。 すなわち、 数列 $ \{ a_{n} \}$ が $0$ に収束しないならば、すなわち、
例えば、$r=1$ の場合の等比級数
$\sum a_{n}$ が収束 $\hspace{1mm} \Longrightarrow \hspace{1mm}$ $\{ a_{n} \}$ が有界数列
級数
証明
級数
が収束すると仮定する。
この場合、
上記で証明したように、
数列 $ \{ a_{n} \}$ は $0$ に収束する。すなわち、
が成り立つ。これより、
も成り立つ。これを $\epsilon$ 論法で表すと、
次のように言い表せる。すなわち、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
を満たす $n_{0}$ が存在する (「数列の極限」を参考)。
したがって、
が成り立つので、$M$ を
と定義すると
($\max$ は $[\hspace{3mm}]$ の中の最大値)、
全ての $n$ に対して、
が成り立つ。このような $M$ が存在するので、
$\{ a_{n} \}$ は有界な数列である。
級数
$\small \sum a_{n}$ が収束 $\hspace{1mm} \Longleftrightarrow \hspace{1mm}$ $ \small \lim_{m,n \rightarrow \infty} | \sum_{k=n}^{m} a_{k} | = 0$
級数
証明
はじめに数列 $\{ a_{n} \}$ の総和を \begin{eqnarray} s_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k} \end{eqnarray} と表すことにする。このとき、級数が
$$
\tag{1}
$$
と表せるので、級数
($(1)$ の左辺) が収束することは数列 $\{ s_{n} \}$ が収束することと同値である。
一般に数列が収束することと、その数列がコーシー列であることは同値であるので、
級数
($(1)$ の左辺)
が収束することは、$\{ s_{n} \}$ がコーシー列であることと同値である。つまり、まとめると、
$$
\tag{2}
$$
が成り立つ。最後はコーシー列の定義を用いた。
また最後の式の左辺は、
と表せることから、$(2)$ より、
が成り立つ。最後に $m=l+1$ とすると、
$l \rightarrow \infty$ ならば $m \rightarrow \infty$ であるので、
が成り立つことが分かる。
はじめに数列 $\{ a_{n} \}$ の総和を \begin{eqnarray} s_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k} \end{eqnarray} と表すことにする。このとき、級数が