行列式の基本的な性質と公式

最終更新 2018年 6月 17日
行列式の定義
$n \times n $ の行列 $A$ の行列式 $|A|$ は、
行列式の定義
と定義される。
  ここで $ A_{ij}$ $(i,j=1,2,\cdots,n)$ は、行列 $A$ の各成分である。 $\sigma$ は置換であり、$S_{n}$ は置換全体の集合である。また $\mathrm{sgn}(\sigma)$ は置換符号である。 詳細を以下のリンクに記す。
行や列の入れ替え
  行列 $A$ の $i$ 列と $j$ 列を入れ替えた行列を $A^{(i\leftrightarrow j)}$ とすると、 その行列式はもとの行列式と符号だけ異なる。 すなわち
行列式の列の入れ替え
である。
  また、 行列 $A$ の $i$ 行と $j$ 行を入れ替えた行列を $A^{(i\hspace{1mm} \updownarrow \hspace{1mm}j)}$ とすると、 その行列式はもとの行列式と符号だけ異なる。 すなわち
行列式の行の入れ替え
である。

証明
$| A^{(i\hspace{1mm} \updownarrow \hspace{1mm}j)} | = -|A|$ の証明
  $n$ 次正方行列 $A$ の各成分を $A_{kl}$ $(k,l=1,2,\cdots, n)$ と表すとき、 $A$ の行列式は、
である (行列式の定義を参考)。 $i$ 行目と $j$ 行目に着目して、 $|A|$ を
と表す。
  $A$ の $i$ 行と $j$ 行を入れ替えた $A^{(i \hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)}$ とし、 各成分を $A^{(i \hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)}_{kl}$ $(k,l=1,2,\cdots, n)$ と表すとき、 $A^{(i \hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)}$ の行列式は、
である。 これも上と同じように、 $i$ 行目と $j$ 行目に着目して、
と表す。 $A^{(i \hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)}$ が $A$ の $i$ 行と $j$ 行を入れ替えたものであることから、
が成り立つ。 ここで $m=1,2,\cdots n$ である。 これより、 $|A^{(i \hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)}|$ を
と表すことができる。 最後の行では、 掛け算の入れ替えを行った。
  ここで、 $\xi$ を $\sigma(i)$ と $\sigma(j)$ だけを入れ替える置換として定義する。 すなわち
と定義する。 これを用いると $| A^{(i\hspace{1mm}\updownarrow\hspace{1mm} j)} |$ を
と表せる。
  ところで、置換 $\sigma$ に対する置換符号の定義 (行列式の定義を参考) は、
であるが、 置換 $\xi$ は入れ替えを一組だけ行う置換であるので、奇置換である。 したがって、 $\sigma$ が偶置換の場合、 合成置換 $\xi \circ \sigma(\cdot)$ は奇置換であり、 $\sigma$ が奇置換の場合、 合成置換 $\xi \circ \sigma(\cdot)$ は偶置換である。 ゆえに、 $\xi \circ \sigma(\cdot)$ に対する置換符号は
である。 したがって、 任意の置換 $\sigma$ に対して
が成り立つ。 これより $| A^{(i\hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)} |$ を
と表せる。
  ところで、一般に置換が集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ の順番を入れ替えるだけの写像であることから、 合成置換 $\xi \circ \sigma$ もまた順番を入れ替えるだけの写像である。 ゆえに 置換 $\sigma$ の全体 $S_{n}$ と合成置換 $\xi \circ \sigma$ の全体は一致する。 従って、 $\sigma$ 全体に渡る総和 $\sum_{\sigma \in S_{n}}$ は、 $\sigma \circ \xi$ 全体に渡る総和 $\sum_{\xi \circ \sigma \in S_{n}}$ に一致する。 このことから $| A^{(i\hspace{1mm}\updownarrow \hspace{1mm}j)} |$ を
と表すことが出来る。 $\xi \circ \sigma = \tau$ と置くと
である。右辺は -$|A|$ に等しいので、
が成立する。
$| A^{(i \leftrightarrow j)} | = -|A|$ の証明
  初めに転置行列 $A^{T}$ に対して、上と同じ議論を展開すると、
を得る。
  一般に、 行を入れ替えた後に転置した行列と、 転置した後に列を入れ替えた行列は等しい。 すなわち、
が成立するので、
を得る。
  最後に転置行列の行列式がもとの行列式に等しいこと ($|A^{T}| = |A|$) から
を得る。

同一の列を持つ行列式は $0$
  $n $ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ $(i\neq j)$ と表し、 行列 $A$ を
と表す。
  $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ が等しい場合、 $A$ の行列式は $0$ である。 すなわち、
同一の列ベクトルを持つ行列式は 0
が成立する。

証明
  $n \times n$ の行列 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ $(i\neq j)$ とし、 $A$ を
と表す。 また、 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルを入れ替えた行列を $A^{(i\leftrightarrow j)}$ とする。 すなわち、
とする。
  一般に列ベクトルを入れ替えた行列式は、 もとの行列式と符号だけが異なるので、
が成立する。
  $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルが等しいとき、 すなわち、 $ \mathbf{a}_{i} = \mathbf{a}_{j} $ のとき、 行列 $A$ は、
と表され、 $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルを入れ替えても行列は変わらない。 すなわち、
である。これと $(*)$ より
が成り立つ。 これより
である。


同一の行を持つ行列式は $0$
  $n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の行ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$, $\mathbf{a}_{j}$ $(i \neq j)$ とし、 行列 $A$ を
と表す。
  $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ が等しい場合、 $A$ の行列式は $0$ である。 すなわち、
同一の行を持つ行列式は 0
が成立する。

証明
  $n \times n$ の行列 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の行ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$, $\mathbf{a}_{j}$ $(i \neq j)$ とする。 また、 $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ を入れ替えた行列を $A'$ とする。 すなわち、
とする。 このとき、 行ベクトルを入れ替えた行列式はもとの行列式と符号だけ異なるので、 $$ |A'| = -|A| $$ が成立する。
  ここで、 $\mathbf{a}_{i} = \mathbf{a}_{j}$ の場合、 すなわち、 行列 $A$ が
と表せる場合には、 $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルを入れ替えても行列は変わらないので、
が成り立つ。
  以上から、
が成立するので、
を得る。

行ベクトルが定数倍された場合
  $n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目の行ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とし、 行列 $A$ を
と表したとき、 $\mathbf{a}_{i}$ を定数倍した行列
の行列式は、 行列 $A$ の行列式の定数倍である。 すなわち、
列を定数倍した行列式
である。

証明
  行列 $A'$ の各成分を $A'_{ij}$ $(i,j=1,2 \cdots,n)$ と表すと、 行列式は
である (行列式の定義を参考) が、 $A'$ は $A$ の $i$ 番目の行ベクトルのみを $C$ 倍した行列であるので、
が成り立つ。 これより、
である。

列ベクトルが定数倍された場合
$n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目の列ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とし、 行列 $A$ を
と表したとき、$\mathbf{a}_{i}$ を定数倍した行列
の行列式は、 行列 $A$ の行列式の定数倍である。 すなわち、
列を定数倍した行列式
である。

証明
  転置行列の行列式はもとの行列の行列式に等しいので、 \begin{eqnarray} |A'| &=& |{A'}^{T}| \\ &=& \left| \left[ \begin{array}{ccccc} \mathbf{a}_{1} & \cdots & C \mathbf{a}_{i} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array} \right]^{T} \right| \\ &=& \left| \left[ \begin{array}{ccccc} \mathbf{a}_{1}^{T} \\ \vdots \\ C \mathbf{a}_{i}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n}^{T} \end{array} \right] \right| \end{eqnarray}
が成り立つ。
  ここで $C \mathbf{a}_{i}^{T}$ は、 ${A'}^{T}$ の $i$ 番目の行ベクトルをなす。 したがって、 行ベクトルを定数倍した行列式がもとの行列の行列式のその定数倍に等しいことから、
が成り立つ。
  右辺の $|{A}^{T}|$ に対し、 再び 転置行列の行列式はもとの行列の行列式に等しいことを用いると、
を得る。

全体が定数倍された場合
  $A$ を $n \times n$ の正方行列とするとき、 $A$ を定数 $\alpha$ 倍した行列の行列式は、 $A$ の行列式の $\alpha^n$ 倍である。すなわち、
定数倍された行列の行列式
が成り立つ。

証明
  行列式の定義より、 $A$ の行列式は、
である。ここで、$ A_{ij}$ $(i,j=1,2,\cdots,n)$ は、行列 $A$ の各成分であり、 $\sigma$ は置換である。 $S_{n}$ は置換全体の集合であり、 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ は、 偶置換のとき $+1$、 奇置換のとき $-1$ をとる置換符号である。
  同じように、 $\alpha A$ の行列式は、
である。 したがって、
定数倍された行列の行列式
が成り立つ。

行ベクトルが和になっている行列式
  行ベクトルが和で表される行列式は、次の性質を満たす。
行ベクトルが和になっている行列式
すなわち、 和の各項を行ベクトルに持つ行列の行列式の和に分解できる。

証明
  $n \times n$ の正方行列 $A$ を $i$ 行 $j$ 列成分を $a_{ij}$ と表し、 $i$ 番目の行ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とする。 すなわち、
とする。このとき、 行列 $A$ は、
と表される。
  ここで $a_{ij}$ が
$(j=1,2,\cdots n)$ と表され、 $\mathbf{b}_{i}$ と $\mathbf{c}_{i}$ を
と定義すると、
であり、$A$ が
と表される。
  行列 $A$ の行列式は、行列式の定義から
であるが、 $(1)$ から
と和に分けられる。
  ここで右辺の第一項は、 行列 $A$ の第 $i$ 番目の行ベクトル $\mathbf{a}_{i}$ を $\mathbf{b}_{i}$ に置き換えた行列の行列式である。 すなわち、
である。 同じように第二項は、行列 $A$ の $\mathbf{a}_{i}$ を $\mathbf{c}_{i}$ に置き換えた行列の行列式である。 すなわち、
である。 したがって
が成り立つ。

列ベクトルが和になっている行列式
  行列の列ベクトルが和で表される行列式は、
列ベクトルが和になっている行列式
のように、和のそれぞれの項を列に持つ行列式の和に分解できる。

証明
  $n \times n$ の正方行列 $A$ の $i$ 番目の列ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とすると、 行列 $A$ は、
である。$\mathbf{a}_{i}$ が
と表せるとき、
であるが、 転置行列の行列式がもとの行列の行列式に等しいこと ことを用いると、
である。 この中の $\mathbf{b}_{i}^{T} + \mathbf{c}_{i}^{T}$ は行列 $A^{T}$ の $i$ 番目の行ベクトルになっている。 そこで行ベクトルが和で表される行列の行列式が和の各項を行ベクトルに持つ行列の行列式の和に等しいことを用いると、
が成り立つ。
  右辺の各項の行列式に対して、 再び 転置行列の行列式がもとの行列の行列式に等しいことを用いると、
であることから、
が成り立つ。

ある行に別の行を加えても行列式の値は変わらない
  正方行列の任意の行に他の行の定数倍を加えても行列式は変わらない。 すなわち、
ある行に別の行を加えても行列式の値は変わらない
とするとき、
が成立する。

証明
  $n$ 次正方行列 $A$ を
と表す。 第 $i$ 行に第 $j$ 行の ($i\neq j$) の定数 $\alpha$ 倍を加えた行列を $A'$ と表す。すなわち、
とする。 一般に行列の行が和で表されている場合の行列式は、和を構成するそれぞれの行を持つ行列の行列式の和に等しいので、 $A'$ の行列式は、次のような行列式の和に等しい。すなわち、
が成立する。
  右辺の第二項に対し、 行列の行が定数倍されている場合の行列式は、 もとの行列式のその定数倍に等しいことを用いると、
であるので、
である。
  ここで、右辺の第一項は $A$ の行列式そのものである。 一方で、第二項は 同一の行ベクトルを含む行列の行列式であるので $0$ である。したがって、
が成り立つ。

1 列の第 2 成分以降が 0 の行列式
  $n \times n$ の正方行列 $A$ の $1$ 列めの列ベクトルの第 2 成分以降が $0$ の場合、 すなわち、
1 列の第 2 成分以降が 0 の行列
と表される場合、$A$ の行列式は、次のように表される。

証明   $A$ の行列式は、
1列の第 2 成分以降が0の行列式02
である。ここで $ A_{ij}$ $(i,j=1,2,\cdots,n)$ は、 行列 $A$ の各成分であり、 $\sigma$ は置換である。また $S_{n}$ は置換全体の集合である (行列式の定義を参考)。
  総和を $\sigma(1) = 1$ の場合と $\sigma(1)\neq 1$ の場合に分けて、
と表す。
  はじめに $\sigma(1)\neq 1$ の総和に着目する。 置換 $\sigma$ は $n$ 個の自然数 $\{1,2,\cdots,n \}$ を $\{1,2,\cdots,n \}$ にする一対一の写像であるので、 $\sigma(1) \neq 1$ の場合には、$2$ から $n$ までどれか一つの数 $k$ が $\sigma(k) = 1$ を満たす。 よって、このような $k$ に対しては、
が成立する。 一方で行列 $A$ が
の形をしている場合 ( $1$ 列の二行目以降の成分が全て $0$ である場合) 、 $k \geq 2$ であることから
であるので、
が成り立つ。 これより、 $|A|$ を
と表せる。
  ここで行列 $B$ を
と定義する。成分で表すと、
である。 これを用いると、 $|A|$ を
と表せる。
  ここで 写像 $\sigma'$ を
と定義すると、$|A|$ を
と表せる。
  ここで 総和が $\sigma(1)=1$ の条件でとられていることに着目する。 この場合、 $\sigma$ が $n-1$ 個の自然数 $\{2,3,\cdots,n \}$ を $\{2,3,\cdots,n \}$ にする一対一の写像であるので、 $\sigma'$ は $n-1$ 個の自然数 $\{1,2,\cdots,n-1 \}$ を $\{1,2,\cdots,n-1 \}$ にする一対一の写像である。 すなわち $\sigma'$ は自然数 $n-1$ に対する置換である。 したがって、
と表せる。 ここで、$S_{n-1}$ は置換 $\sigma'$ 全体からなる集合である。
  また、置換 $\sigma$ が偶置換のときには、$\sigma'$ も偶置換であり、 $\sigma$ が奇置換のときには、$\sigma'$ も奇置換である 。 ゆえに $\sigma'$ の置換符号は $\sigma$ の置換符号に等しい (偶置換・奇置換・置換符号については(行列式の定義)を参考)。 すなわち、 $ \mathrm{sgn}(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma') $ であることから、
と表せる。
  右辺の総和は $B$ の行列式そのものであるので、
が成り立つ。

積の行列式
  $A$,$B$ を正方行列とするとき、 行列の積の行列式は、 行列式の積に等しい。 すなわち、
積の行列式
が成り立つ。
逆行列の行列式
  $A$ を正則行列とするとき、 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の行列式 $|A^{-1}|$ は、 もとの行列の行列式の逆数に等しい。 すなわち、
逆行列の行列式
が成立する。
転置行列の行列式
  $A$ を正方行列とするとき、 $A$ の転置行列 $A^{T}$ の行列式 $|A^{T}|$ は、 もとの行列 $A$ の行列式 $|A|$ に等しい。 すなわち、
転置行列の行列式
が成り立つ。
直交行列の行列式
  $A$ を直交行列とするとき、 $A$ の行列式 $|A|$ は $\pm 1$ である。 すなわち、
直交行列の行列式
である。
随伴行列の行列式  
  随伴行列の行列式は、 もとの行列の行列式の複素共役である。 すなわち、
随伴行列の行列式
が成り立つ。
ユニタリー行列の行列式  
  ユニタリー行列 $U$ の行列式 $\det U $ は、 大きさ 1 の複素数である。 すなわち、
ユニタリー行列の行列式
が成り立つ。
上三角行列の行列式
  $A$ を上三角行列とするとき、 $A$ の行列式は対角成分の積に等しい。 すなわち
上三角行列の行列式
が成り立つ。
下三角行列の行列式
  $A$ を下三角行列とするとき、 $A$ の行列式は対角成分の積に等しい。 すなわち
下三角行列の行列式
が成り立つ。
対角行列の行列式
  $A$ を対角行列とするとき、$A$ の行列式は対角成分の積に等しい。すなわち
対角成分の行列式
が成り立つ。
ヴァンデルモンドの行列式
$n$ 次正方行列
ヴァンデルモンド行列
をヴァンデルモンド行列という。
  ヴァンデルモンド行列の行列式 (Vandermonde determinant) は、
ヴァンデルモンド行列の行列式
である。 総乗の記号 $\prod$ を用いてまとめると、
である。
行列式は固有値の積
  任意の正方行列 $A$ の行列式は、 $A$ の固有値を全て掛けた積に等しい。 すなわち、
行列式は固有値の積
が成立する。
  ここで、$A$ は、 $n$ 次正方行列であり、 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ は、 その固有値である。
3行3列の行列式はスカラー三重積
  3つの3次元ベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ を列ベクトルに持つ3行3列の行列式は、 それらの間のスカラー三重積に等しい。 すなわち、
3行3列の行列式はスカラー三重積
が成立する。