行列式の公式

最終更新 2018年 3月 21日
積の行列式
  $A$,$B$ を正方行列とするとき、 行列の積の行列式は、 行列式の積に等しい。 すなわち、
積の行列式
が成り立つ。
逆行列の行列式
  $A$ を正則行列とするとき、 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の行列式 $|A^{-1}|$ は、 もとの行列の行列式の逆数に等しい。 すなわち、
逆行列の行列式
が成立する。
転置行列の行列式
  $A$ を正方行列とするとき、 $A$ の転置行列 $A^{T}$ の行列式 $|A^{T}|$ は、 もとの行列 $A$ の行列式 $|A|$ に等しい。 すなわち、
転置行列の行列式
が成り立つ。
直交行列の行列式
  $A$ を直交行列とするとき、 $A$ の行列式 $|A|$ は $\pm 1$ である。 すなわち、
直交行列の行列式
である。
随伴行列の行列式  
  随伴行列の行列式は、 もとの行列の行列式の複素共役である。 すなわち、
随伴行列の行列式
が成り立つ。
ユニタリー行列の行列式  
  ユニタリー行列 $U$ の行列式 $\det U $ は、 大きさ 1 の複素数である。 すなわち、
ユニタリー行列の行列式
が成り立つ。
上三角行列の行列式
  $A$ を上三角行列とするとき、 $A$ の行列式は対角成分の積に等しい。 すなわち
上三角行列の行列式
が成り立つ。
下三角行列の行列式
  $A$ を下三角行列とするとき、 $A$ の行列式は対角成分の積に等しい。 すなわち
下三角行列の行列式
が成り立つ。
対角行列の行列式
  $A$ を対角行列とするとき、$A$ の行列式は対角成分の積に等しい。すなわち
対角成分の行列式
が成り立つ。
ヴァンデルモンドの行列式
$n$ 次正方行列
ヴァンデルモンド行列
をヴァンデルモンド行列という。
  ヴァンデルモンド行列の行列式 (Vandermonde determinant) は、
ヴァンデルモンド行列の行列式
である。 総乗の記号 $\prod$ を用いてまとめると、
である。
行列式は固有値の積
  任意の正方行列 $A$ の行列式は、 $A$ の固有値を全て掛けた積に等しい。 すなわち、
行列式は固有値の積
が成立する。
  ここで、$A$ は、 $n$ 次正方行列であり、 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ は、 その固有値である。
3行3列の行列式はスカラー三重積
  3つの3次元ベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ を列ベクトルに持つ3行3列の行列式は、 それらの間のスカラー三重積に等しい。 すなわち、
3行3列の行列式はスカラー三重積
が成立する。