ポアソン分布とは？   ～期待値・分散・性質～

証明
  期待値の定義とポアソン分布の定義より、 である。 右辺の総和のうち、$k=0$ の項が $0$ であることから、総和の中からこの項を取り除き、整理すると、 と表せる。 ここで、$l=k-1$ とすると、 と表せる。右辺の総和は、$e^{\lambda}$ の $x=0$ におけるテーラー展開であるので、すなわち、 であるので、期待値は、 である。   下のグラフは、$\lambda=0.5$ (青線)、 $\lambda=1$ (橙線)、 $\lambda=2$ (緑線)のポアソン分布である。 パラメータ $\lambda$ が大きいほど、山の頂点が右側に行く(期待値が大きくなる) ことが見て取れる。 実際、それぞれの期待値は、 である。

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証明
  一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差に等しい。 すなわち、 が成り立つ。 ポアソン分布の期待値が、 であるので、 $$ \tag{1} $$ と表せる。 よって、 二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、 分散 $V(X)$ が求まる。
  二乗期待値 $E(X^2)$は、 ポアソン分布の定義により、 である。 ここで $k=0$ の項が $0$ であることから、 総和の中からこの項を取り除いて整理すると、 である。 ここで $k=(k-1)+1$ の関係を使って、 右辺の総和を分けると、 と表せるが、 右辺の一つ目の総和の $k=1$ の項は $0$ であるので、この部分を取り除いて整理すると、 と表せる。 右辺の一つ目の総和に対して $l=k-2$ とし、 二つ目の総和に対して $m=k-1$ とすると、 と表せるが、 第一項と第二項に現れた総和の部分は、 $e^{\lambda}$ の テーラー展開 に等しい、 すなわち、 であるので、 二乗期待値は、 である。
  したがって、 $(1)$ からポアソン分布の分散は、 である。このように、 ポアソン分布の分散は期待値に等しい。   下のグラフは、$\lambda=2$ (青線)、 $\lambda=4$ (橙線)、 $\lambda=6$ (緑線)のポアソン分布である。 パラメータ $\lambda$ が大きいほど山の幅 (分散) が広がってゆくことが分かる。 実際、それぞれの分散は、 である。

証明
  $ np = \lambda $ とすると、 $$ \tag{1} $$ と表せる。 ここで $\lambda$ を一定に保ちながら、 $ n $ を大きくする極限をとると、 $$ \tag{2} $$ である。また、 $\frac{n}{\lambda} = m$ と置くと、 $ n $ を大きくすると、 $ m $ も 大きくなるので、 $$ \tag{3} $$ となる (ネピアの定数を参考)。
  以上の $(1) (2) (3)$ より、 これは二項分布が $\lambda = np$ を一定に保ちながら $n$ を大きくする極限において、 ポアソン分布に収束することを表している。