二項分布とは

二項分布の定義

確率変数 $X$ の確率分布が

であるとき、 $X$ が二項分布に従うといい、 \begin{eqnarray} X \sim B(n,k) \end{eqnarray} と表す。
下図は $n=10, p=0.3$ の場合の二項分布を表している。

と表される。

二項分布の期待値

二項分布 $B(n,k)$ に従う確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は、

である。

証明
期待値の定義と二項分布の定義より、

である。ここで組み合わせ ${}_n \mathrm{C}_{\hspace{1mm}k}$ が

であることを用いた。
総和の中の $k=0$ の項が $0$ であることから、この項を取り除き、整理すると、

と表せる。
ここで、$l=k-1$ とすると、

と表せるが、上の式の右辺の総和の部分は、二項定理により $ 1 $ に等しい。すなわち、

であるので、

を得る。

二項分布の分散

二項分布 $B(n,k)$ に従う確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ は、

である。

であるので、

$$ \tag{1} $$ と表せる。したがって、二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、分散 $V(X)$ が求まる。
二乗期待値は、二項分布の場合

である。ここで組み合わせの定義

を用いた。
右辺の総和の $k=0$ の項が $0$ であることから、この項を取り除き、整理すると、

と表せる。4 つめの等号では、右辺を $k=(k-1)+1$ の関係を利用した。
右辺の一つめの総和の $k=1$ の項が $0$ であることから、この項を取り除き、整理すると、

と表せる。
ここで一つめの総和に対して $l=k-2$ と置き、二つめの総和に対して $m=k-1$ と置くと、

と表せる。ここで二項定理から、

が成り立つので、

である。
これを $(1)$ に代入すると

を得る。

二項分布の標準偏差

二項分布 $B(n,k)$ に従う確率変数 $X$ の分散 $\sigma(X)$ は、 \begin{eqnarray} \sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} \\ &=& \sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray} である。

ポアソン分布との関係 (小数の法則)

に対して $np = \lambda$ と置き、 $\lambda$ を一定にする条件の下で $n$ を大きくしてゆくと、ポアソン分布に収束する。すなわち、

が成り立つ。これをポアソンの小数の法則と呼ぶ。