正規分布の分散と標準偏差  

最終更新 2018年 1月2日
  正規分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ に従う確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ は
正規分布の分散
である。 標準偏差は、
正規分布の標準偏差
である。

  証明

  正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ に従う確率変数 $X$ の確率分布(確率密度関数) $p(x)$ は、
である。 分散の定義は、
であるが、正規分布の期待値は、
であるので、
と表される。
  右辺の積分変数を
と置換すると、 $x - \mu= \sigma t $ であるので、
と表せる。 右辺に現れた積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 2 次のガウス積分の公式によって、
という値を持つ。 ゆえに
である。
  また、 標準偏差は、
正規分布の標準偏差
である。
  例 1:   下の図は $\mu=10$、$\sigma=2$ の場合の正規分布である。
この正規分布の分散は
である。


例 2:   下の図は $\mu=10$, $\sigma=4$ の場合の正規分布である。
この正規分布の分散は
である。
比較:
  下の図は上の二つの正規分布を一つの図に表したものである。
正規分布の分散の図

分散の大きな正規分布(赤線)の方が、 分散の小さい正規分布(青線)よりもが分布の幅が広い。
  このように分散は、 確率分布の幅の広さを表す指標となり、 正規分布の場合には $\sigma^{2}$ が大きいほど、 幅が広くなる。