正規分布の期待値と分散

証明
  正規分布 $N(\mu, \sigma)$ に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $p(x)$ は、 である。  よって、 期待値は、 である。  ここで、右辺の積分変数を と置くと、 であるので、 置換積分によって と表される。 ここで、右辺の第一項の積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 1 次のガウス積分であるので、 値は 0 である。すなわち、 である。 また、 第二項の積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 0 次のガウス積分であるので、 である。 これらより、 を得る。 例 1:
  下の図は、$\mu=5$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。 この場合の期待値は である。


例 2:
  下の図は、$\mu=10$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。 この場合の期待値は である。


例 3:
  下の図は、$\mu=5$, $\sigma=4$ の場合の正規分布である。 この場合の期待値は である。
  以上の例から分かるように、 同一の $\mu$ を持つ正規分布は同じ期待値を持ち、 同じ位置にピークを持つ。 一方、$\sigma$ のみが異なる正規分布は、 分布の幅が異なる一方で、同一の期待値を持ち同一の位置にピークを持つ。

証明
    正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ に従う確率変数 $X$ の確率分布(確率密度関数) $p(x)$ は、 である。 分散の定義は、 であるが、 正規分布の期待値は、 であるので、 と表される。 右辺の積分変数を と置換すると、 $x - \mu= \sigma t $ であるので、 と表せる。 右辺に現れた積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 2 次のガウス積分の公式によって、 という値を持つ。 ゆえに である。
  また、 標準偏差は、 である。   $\mu=5$, $\sigma=2$ の場合、 である。 $\mu=5$, $\sigma=4$ の場合、 である。 下の図は正規分布 ($\mu = 5, \sigma=2$: 青)と 正規分布($\mu = 5, \sigma=4$: オレンジ) を一つの図に表したものである。
分散の大きな正規分布(オレンジ)の方が、 分散の小さい正規分布(青)よりもが分布が幅広い。
  このように分散は、 正規分布の場合には $\sigma$ が大きいほど、 幅が広くなる。