交代級数と収束する例

  以下のように各項の符号が順に入れ替わる級数を交代級数 (alternating series) という。

交代級数の収束00

ここで $a_{i} \geq 0$ である。
  このとき、各項が進むにつれて小さくなり、すなわち

交代級数の収束01

を満たし、$n \rightarrow \infty$ において $a_{n} \rightarrow 0$ であるならば 交代級数は収束する。

最終更新 2015 年 4月 27日


  収束の証明

  第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すなわち、

交代級数の収束02

このとき、$2n+2$ 項までの和は、$2n$ 項までの和によって、

交代級数の収束03

と表されるが、$a_{2n+1} \geq a_{2n+2}$ であるので、

交代級数の収束04

が成立する。よって $S_{2n}$ は単調増加数列する。
  また $S_{2n}$ は

交代級数の収束05

と表されるが、括弧で囲まれた部分はすべて正であるので、すなわち

交代級数の収束06

であるので、

交代級数の収束07

が成立する。
  ゆえに偶数項までの和 $S_{2n}$ は、上に有界な単調増加数列であるので、収束する。
  その収束値を $S$ とする。 すなわち、

交代級数の収束08

とすると、奇数項までの和 $S_{2n+1}$ は、

交代級数の収束09

を満たす。
  仮定より $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{2n+1} = 0$ であるので、

交代級数の収束10

が成立する。
  よって奇数項までの和 $S_{2n+1}$ は、偶数項までの和と同じ極限値 $S$ に収束する。
  以上の$(1)$$(2)$ より、

交代級数の収束11

を得る。
  $S_{n}$ は、交代級数 $(*)$ の第 $n$ 項までの和であったので、 $(*)$ が収束することが示された。








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