密度作用素と統計集団
話を簡潔にするため、
有限次元の量子力学に議論を限定する。
統計集団
物理系の状態ベクトルが確率的に割り当てられた状態を
統計集団(アンサンブル)という。
例えば、
量子状態が確率 $p_{1}$
で
$ |\psi_{1} \rangle $
であり、
確率 $p_{2}$ で
$ |\psi_{2} \rangle $
である統計集団は、
$$
\tag{1.1}
$$
と表される。ここで、
である。
同様に、$i=1,2,\cdots,n$ に対して、
量子状態が確率 $p_{i}$
で状態ベクトル
$ |\psi_{i} \rangle $
である統計集団は、
$$
\tag{1.2}
$$
と表され、
である。
補足
部分系の量子状態は一般的に統計集団を成す (証明略)。
統計集団の確率
統計集団 $(1.2)$
は
量子状態が確率
$p_{1}$
で
$| \psi_{1} \rangle$
であり、
確率
$p_{2}$
で
$| \psi_{2} \rangle$
である状態である。
したがって、
この状態に対して物理量
$A$
を測定して $A=a$ という結果が得られる確率は、
で表される。
ここで第一項は、
量子状態が $| \psi_{1} \rangle$ であり、
なおかつ $| \psi_{1} \rangle$ で $A$ を観測すると
$A=a$ と観測される同時確率である。
第二項も同様である。
量子状態が $| \psi_{i} \rangle$ であるという事象と、
$| \psi_{i} \rangle$ で $A$ を観測すると
$A=a$ と観測される事象が
独立であるとすると、
同時確率が個々の事象の確率の積に分けられ、
$$
\tag{2.1}
$$
と表される。
ここで、第一項の
は、量子状態が
$| \psi_{1} \rangle$ である確率であり、
統計集団 $(1.1)$ の $p_{1}$ に等しい。
また、
は、
$| \psi_{1} \rangle$ で $A$ を観測すると
$A=a$ と観測される確率であり、
に等しい。ここで
$| a \rangle$ は $A$ の
固有ベクトル
である
(正確には固有ベクトルではなく
$A$ のスペクトル射影を用いて記述すべきであるが、
ここでは分かり易さを優先して、よく知られた固有ベクトルを用いた)。
$(2.1)$ の第二項も第一項と同様に考えると、
と表せる。これが統計集団
$(1.1)$
に対して $A$ を観測し $A=a$ という結果を得る確率である。
全く同じように、
統計集団
$(1.2)$
に対して
$A$ を観測し $A=a$ という結果を得る確率は、
$$
\tag{2.2}
$$
と表される。
例: 統計集団の確率
$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間
$\mathcal{H}$
の
正規直交基底とするとき、
状態ベクトル
$$
\tag{3.1}
$$
から成る統計集団
$$
\tag{3.2}
$$
に対して、物理量
$$
\tag{3.3}
$$
の確率を求めよ。
解答例
$A$ の固有値は $\pm 1$ であり、
固有ベクトルはそれぞれ
$ | 0 \rangle $
と
$ | 1 \rangle $
である。実際
が成り立つ。
状態ベクトルが $| \psi_{1} \rangle$ のときに $A=1$ と観測される確率は
である。
状態ベクトルが $| \psi_{2} \rangle$ のときには、
である。
以上から、統計集団
$(3.2)$ に対して $A$ を観測し、
$A=1$ と観測される確率は、$(2.2)$ から
である。
状態ベクトルが $| \psi_{1} \rangle$ のときに $A=-1$ と観測される確率は
である。
状態ベクトルが
$| \psi_{2} \rangle$ のときには
である。
以上から、統計集団
$(3.2)$ に対して $A$ を観測し、
$A=-1$ と観測される確率は、$(2.2)$ から
である。
統計集団の期待値
統計集団の確率と同様の議論を展開すると分かるように、
量子状態が
統計集団
$$
\tag{4.1}
$$
であるときに得られる $A$ の期待値は、
$$
\tag{4.2}
$$
である。
ここで、$ \langle \psi_{i} \hspace{0.5mm}| A |\hspace{0.5mm} \psi_{i} \rangle $
は量子状態が $| \psi_{i} \rangle$ のときに $A$ を観測して得られる期待値である。
例: 統計集団の期待値
$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間
$\mathcal{H}$
の
正規直交基底とするとき、
状態ベクトル
$$
\tag{5.1}
$$
から成る統計集団
$$
\tag{5.2}
$$
に対して、物理量
$$
\tag{5.3}
$$
の期待値を求めよ。
解答例
$(5.1)$
と
$(5.3)$
から
と
ブラケットの定義より、
である。これより、統計集団
$(5.2)$
の期待値は
$(4.2)$ から
である。
密度作用素
次の形をした作用素
が
$$
\tag{6.1}
$$
を満たすとき、
密度作用素
(density operator)
という。
また、
統計集団
は、
$(6.1)$
を満たすので、
各統計集団に対応する密度作用素を定義できる。
補足
密度作用素は密度演算子と呼ばれることもある。
また、有限次元の場合には密度行列と呼ばれることもある。
例: 密度作用素
統計集団
に対する
密度作用素は、
である。
密度作用素による確率
統計集団
に対して観測を行って、
物理量
$A$ が $a$ と観測される確率は、
密度作用素
$\rho$ によって
$$
\tag{8.1}
$$
と表される。
ここで $| a \rangle$ は $A$ の
固有値
$a$ の固有ベクトルであり、
$\mathrm{Tr} $ は
トレースである。
例: 密度作用素による確率
$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間
$\mathcal{H}$
の
正規直交基底とするとき、
状態ベクトル
から成る密度作用素
に対して、物理量
を観測したときの確率について述べよ。
解答例
ブラケットの性質を用いる。
$A$ の
固有値は
$\pm 1$ であり、
固有ベクトルはそれぞれ
$ | 0 \rangle $
と
$ | 1 \rangle $
である。実際
が成り立つ。
また、
であるので、
$A=1$ と観測される確率は $(7.1)$
より、
また、
であるので、
$A=-1$ と観測される確率は $(8.1)$
より、
である。
以上は
統計集団から求めた結果と一致する。
密度作用素による期待値
統計集団
に対する物理量 $A$ の期待値は、
密度作用素 $\rho$ によって、
$$
\tag{9.1}
$$
と表される。
例: 密度作用素による期待値
$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間
$\mathcal{H}$
の
正規直交基底とするとき、
状態ベクトル
から成る密度作用素
に対して、物理量
を観測したときの期待値を求めよ。
解答例
$A$ の
固有値は
$\pm 1$ であり、
固有ベクトルはそれぞれ
$ | 0 \rangle $
と
$ | 1 \rangle $
である。実際
が成り立つ。
また、
であるので、
$A$
の期待値は
$(9.1)$ や
ブラケットの性質
より、
である。
以上は
統計集団から求めた結果と一致する。
密度作用素 ⇔ $\rho \geq 0, \hspace{1mm} \mathrm{Tr}[\rho] =1$
密度作用素 $\rho$ は
半正定値作用素であり、
トレースが $1$ である。
すなわち、
$$
\tag{11.1}
$$
が成り立つ。逆に
$(11.1)$
が成り立つ作用素は密度作用素である。
証明
● $\rho$ が密度作用素 $ \hspace{1mm}\Rightarrow \hspace{1mm}$ $\rho \geq 0, \hspace{1mm} \mathrm{Tr}[\rho] =1$
ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の任意のベクトル $| \phi \rangle$ と
任意の密度作用素
に対して、
ブラケットの性質
が成り立つので、$\rho \geq 0$ である。
また、
トレースの性質から
が成り立つ。
● $\rho$ が密度作用素 $ \hspace{1mm}\Leftarrow \hspace{1mm}$ $\rho \geq 0, \hspace{1mm} \mathrm{Tr}[\rho] =1$
$\rho$ が半正定値作用素なので、
対角化可能である。
すなわち、
$$
\tag{11.2}
$$
と表せる
(証明略)。
ここで $\{ | \xi_{i} \rangle \}$ は
$\rho$ の固有ベクトルであり、
正規直交基底をなす。すなわち、
である。
これより、
$$
\tag{11.3}
$$
が成り立つ。
また、
$\rho \geq 0$
であるので、
が成り立つ。
以上と
ブラケットの性質から
$$
\tag{11.4}
$$
が成り立つ。
また
$\mathrm{Tr}[\rho] =1$
と
トレースの性質から
$$
\tag{11.5}
$$
が成り立つ。
$(11.3)(11.4)(11.5)$ から
作用素 $(11.2)$ は密度作用素である。
例2: $\rho \geq 0, \hspace{1mm} \mathrm{Tr}[\rho] =1$
密度作用素
が
を満たすことを確かめる。