ロバートソンの不等式とケナードの不等式

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証明
  任意の量子状態を $\rho$ 、任意の物理量を $A, B$ とする。 交換子 $[A,B] =AB-BA$ の期待値は、トレースの線形性により、 $$ \tag{1} $$ である。ここで 随伴行列の性質 や $\rho$,$A$,$B$ が エルミートであること、 および、トレースの循環性から、 \begin{eqnarray} \mathrm{Tr}[\rho BA] &=& \big( \mathrm{Tr}[\rho BA]^* \big)^* \\ &=& \mathrm{Tr}[(\rho BA)^{\dagger}]^{*} \\ &=& \mathrm{Tr}[A^{\dagger} B^{\dagger} \rho^{\dagger}]^{*} \\ &=& \mathrm{Tr}[A B \rho]^{*} \\ &=& \mathrm{Tr}[\rho A B ]^{*} \end{eqnarray} と表せることと、 $(1)$ を用いると、 \begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &=& \left|\mathrm{Tr}[ \rho AB] - \mathrm{Tr}[\rho BA] \right|^2 \\ &=& \left| \mathrm{Tr}[\rho AB] - \mathrm{Tr}[\rho AB]^{*} \right|^2 \\ &=& \left| 2i \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right] \right|^2 \\ &=& 4 \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 \end{eqnarray} を得る。 これより \begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &=& 4 \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 \\ &\leq& 4 \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 \\ && +4 \mathrm{Re} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 \\ &=& 4 \left| \mathrm{Tr}[\rho AB] \right|^2 \end{eqnarray} $$ \tag{2} $$ である。 ところで $\mathrm{Tr}[\rho AB]$ は、 \begin{eqnarray} \mathrm{Tr}[\rho AB] &=& \mathrm{Tr}[\rho^{\frac{1}{2}} \rho^{\frac{1}{2}} AB] \\ &=& \mathrm{Tr}[\rho^{\frac{1}{2}} AB\rho^{\frac{1}{2}} ] \\ &=& \mathrm{Tr}[ \big( A\rho^{\frac{1}{2}} \big)^{\dagger} B\rho^{\frac{1}{2}} ] \\ &=& ( A \rho^{\frac{1}{2}}, B\rho^{\frac{1}{2}} )_{\mathcal{HS}} \end{eqnarray}
と表せる。 ここで $ ( \cdot, \cdot )_{\mathcal{HS}}$ は、ヒルベルト・シュミット内積である。 これと $(2)$ により、 \begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &\leq& 4 \left| \mathrm{Tr}[\rho AB] \right|^2 \\ &=& 4 \big| ( A \rho^{\frac{1}{2}}, B\rho^{\frac{1}{2}} )_{\mathcal{HS}} \big|^2 \\ &\leq& 4 \| A \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 \| B \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 \end{eqnarray} $$ \tag{3} $$ を得る。 最後の不等号ではシュワルツの不等式を用いた。 ここで、 ヒルベルト・シュミット内積の定義から、 \begin{eqnarray} \| A \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 &=& ( A \rho^{\frac{1}{2}}, A \rho^{\frac{1}{2}} )_{\mathcal{HS}} \\ &=& \mathrm{Tr} \big[ ( A \rho^{\frac{1}{2}})^{\dagger} A \rho^{\frac{1}{2}}\big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ (\rho^{\frac{1}{2}})^{\dagger} A^{\dagger} A \rho^{\frac{1}{2}}\big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ \rho^{\frac{1}{2}} A A \rho^{\frac{1}{2}}\big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ \rho^{\frac{1}{2}} \rho^{\frac{1}{2}} A^2 \big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ \rho A^2 \big] \nonumber\\ &=& \langle A^2 \rangle \end{eqnarray} と表せる。同様に \begin{eqnarray} \| B \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 &=& \langle B^2 \rangle \end{eqnarray} と表せることから、 $(3)$ を \begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &\leq& 4\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \end{eqnarray} と書き直せる。
  この不等式は \begin{eqnarray} A&=&Q - \langle Q \rangle \\ B&=&P - \langle P \rangle \end{eqnarray} の場合 ($Q$ と $P$ は物理量)、

\begin{eqnarray} &&\left| \langle [Q - \langle Q \rangle, P - \langle P \rangle] \rangle \right|^2 \\ && \leq 4\langle (Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle \langle (P - \langle P \rangle)^2 \rangle \end{eqnarray}
と表されるが、 左辺の交換子が $$ [Q - \langle Q \rangle, P - \langle P \rangle] = [Q, P] $$ を満たすので、 $$ \left| \langle [Q, P] \rangle \right|^2 \leq 4\langle (Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle \langle (P - \langle P \rangle)^2 \rangle $$ を得る。$Q$ と$P$ の標準偏差をそれぞれ \begin{eqnarray} \sigma(Q) &=& \langle (Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle^{\frac{1}{2}} \\ \sigma(P) &=& \langle (P - \langle P \rangle)^2 \rangle^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray} と定義すると、 $$ \frac{1}{4} \left| \langle [Q, P] \rangle \right|^2 \leq \sigma(Q)^2 \sigma(P)^2 $$ と表される。これより、 $$ \sigma(Q) \sigma(P) \geq \frac{1}{2}\left| \langle [Q, P] \rangle \right| $$ を得る。

証明
  任意の物理量 $Q, P$ に対する標準偏差をそれぞれ $\sigma(Q), \sigma(P)$ とすると、 ロバートソンの不確定性原理によって \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\left| \langle [Q, P] \rangle \right| \leq \sigma(Q) \sigma(P) \end{eqnarray} が成り立つ。 $Q$ と $P$ が $$ [Q, P] = i\hbar $$ を満たす場合、 $$ \frac{1}{2}\left| \langle i \hbar \rangle \right| \leq \sigma(Q) \sigma(P) $$ である。ここで任意の量子状態を $\rho$ とすると、 $\mathrm{Tr} [ \rho ] = 1$ であるので、 $$ \langle i \hbar \rangle = \mathrm{Tr} [ i\hbar \rho ] = i\hbar \mathrm{Tr} [ \rho ] = i\hbar $$ である。 これらより $$ \frac{1}{2}\hbar \leq \sigma(Q) \sigma(P) $$ が成り立つ。