エルミート行列の性質

証明
  任意の正方行列には固有値と固有ベクトルが存在するので、 $n \times n$ のエルミート行列 $H$ にも固有値と固有ベクトルが存在する。 そこで $H$ の固有値 $\lambda$ の固有ベクトルを $\mathbf{u} $ と表すと、 が成り立つ。
  行列 $H$ と 固有ベクトル $\mathbf{u}$ を成分によって、 と表し、 $(1)$ を成分ごとに表すと、 である ($i=1,2,\cdots,n$)。 これより、 が成り立つ ( $*$ は複素共役) ので、 である。 これを用いると、 が成り立つ。書き直すと、 である。
  ここで左辺に着目し、 $H^{\dagger} = H$ ( 各成分で $H_{ij}^{*} = H_{ji}$ ) であることと、 $(1)$ を用いると、 が成り立つ。 これより、 である。 書き直すと、 である。
  ここで和の部分は、$\mathbf{u}$ のノルムの二乗に等しい。 すなわち、 であるので、 である。 この式と、 $\mathbf{u} \neq 0$ により $\| \mathbf{u} \|^{2}\neq 0$ であることから、 である。したがって、 $ \lambda^{*} = \lambda $ を得る。 すなわち、 エルミート行列 $H$ の固有値 $\lambda$ は実数である。

証明
  エルミート行列 $H$ の異なる二つの固有値 $\lambda_{i}$ と $\lambda_{j}$ の固有ベクトルをそれぞれ $\mathbf{u}_{i}$ と $\mathbf{u}_{j}$とする。 内積と随伴行列の関係を用いると、 $H$ がエルミート行列であることから、 が成り立つ。 ここで四番目の等号では、複素内積の反線形性 を用いた。 また五番目の等号では固有値が実数であることを用いた。 一方で内積 $(\mathbf{u}_{i}, \hspace{0.5mm} H\mathbf{u}_{j}) $ は、 と表せる。ここでは、複素内積の線形性 を用いた。
  以上から、 が成り立つ。書き直すと、 である。 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}$ であるので、 である。 すなわち、 固有値の異なる固有ベクトルは直交する。

証明
  $n \times n$ の行列 $H$ の固有値を $\lambda$ とし、 $\lambda$ を固有値とする固有ベクトルを $\mathbf{u}$ と表す。 これより、 が成り立つが、 これは $0$ ベクトルでない解を持つ同次連立一次方程式である。 一般に 同次連立一次方程式が $0$ ベクトル以外の解を持つことと、 係数行列の行列式 $0$ であることは同値であるので、 係数行列 $\lambda I - H$ の行列式は $0$ である。 すなわち、 が成り立つ。 ここで $I$ は単位行列ある。 これを $H$ の特性方程式 (charasteristic equation) という。
  この特性方程式は $n$ 次方程式であるので、 代数学の基本定理によって複素数の範囲で $n$ 個の解を持つ。 それらを とすると、 因数定理により特性方程式を と表せる。
  解 $ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} $ が $p$ 通りの異なる値を持つとし(下の補足を参考)、 それらを $\overline{\lambda}_{1} \cdots \overline{\lambda}_{p}$ と表すことにする。 また、各 $\overline{\lambda}_{i}$ の重複度を $n_{i}$ とすることにする。 こうすると、 特性方程式を と表すことが出来る。 このとき、 重複度の合計は解の総数 $n$ に等しいので、 が成り立つ(下の補足を参考)。
  ところで、 $H$ はエルミート行列であるので、 対角化可能であり、 対角化可能な行列の各固有値の固有空間の次元は、 その固有値の重複度に等しい。 すなわち、 $\overline{\lambda}_{i}$ の固有空間を $E_{\overline{\lambda}_{i}}$ と表すと、 が成り立つ。 これは固有値 $\overline{\lambda}_{i}$ を持つ任意の固有ベクトル $\overline{\mathbf{u}}_{i}$ が、 $E_{\overline{\lambda}_{i}}$ に属する $n_{i}$ 個の線形独立なベクトル の線形結合によって表せることを意味する。すなわち、 と表せることを意味する。 ここで $c_{\overline{\lambda}_{i}, 1}, c_{\overline{\lambda}_{2}, 2} \cdots c_{\overline{\lambda}_{i}, n_{i}}$ は、 線形結合の係数である。
  $ \mathbf{t}_{\overline{\lambda}_{i}, 1}, \cdots, \mathbf{t}_{\overline{\lambda}_{i}, n_{i}} $ は 互いに独立なベクトルであるので、 グラムシュミットの直交化法によって、 互いに直交する大きさ $1$ のベクトル を生成することができる。 ここで $\delta_{jk}$ はクロネッカーのデルタである。
  グラムシュミットの方法によると、 各 $ \mathbf{v}_{\overline{\lambda}_{i}, j}$ は $ \mathbf{t}_{\overline{\lambda}_{i}, 1} , \cdots, \mathbf{t}_{\overline{\lambda}_{i}, n_{i}} $ の線形結合によって定義されるので、 固有空間 $E_{\overline{\lambda}_{i}}$ に属する。 各固有空間ごとに並べると、 であるが、 であるので、 同じ固有値に属するもの同士は直交する。 また、$H$ がエルミート行列であることから、 異なる固有値に属する固有ベクトルもまた直交する。 すなわち、 が成り立つ。 したがって、 表1 に表されているベクトルは互いに直交し合う固有ベクトルである。
  ところで、 表1 に表されているベクトルの総数 は、 であるが、 $(1)$ より、これは $n$ に等しい。 したがって、 表1 に表されているベクトルは $n$ 個の互いに直交し合う固有ベクトルである。
  また、 これらはグラムシュミットの方法によって生成されたベクトルであるので、 大きさ $1$ のベクトルである。 したがって、 表1 に表されているベクトルは $n$ 個の互いに直交し合う大きさ$1$ の固有ベクトルである。
  $n$ 次元ベクトル空間の中の $n$ 個の互いに直交する大きさ $1$ のベクトルは、 そのベクトル空間の正規直交基底を成す。 したがって、 表1 に表されているベクトルは正規直交基底である。 以上から、 $H$ の固有ベクトルによって構成される正規直交基底が存在することが示された。   特性方程式が $7$ 次方程式であり、 解が である場合、 この解の中には、 $1,4,-2,3$ の $4$ 通りの異なる値がある。
  因数定理によって特性方程式は、 と表すことができ、 解 $1$ と $-2$ が重解であり、 $4$ と $3$ が重解ではない。 また、 解 $1,4,-2,3$ の重複度はそれぞれ $2,1,3,1$ である (重複度とは同じ値の解の個数)。
  重複度の合計は、 となり、解の総数と一致する。

証明
  任意の正方行列 $B$ によって、、 を定義すると、 随伴行列の性質から、 が成り立つ。
  したがって、$H$ はエルミート行列である。

証明
  とする。 随伴行列の性質から、 が成り立つ。
  したがって、$H$ はエルミート行列である。