ウォリスの公式

  次の関係をウォリスの公式 (Wallis formula) と呼ぶ。

ウォリスの公式00

左辺の極限をとらずに、大きな $n$ に対する値を求めることよって、 円周率 $\pi$ の近似値を得ることができる。
最終更新 2015年 4月 12日


  証明

  自然数 $n$ に対して

ウォリスの公式01

と置く。
  この積分は ウォリスの積分公式 によって、

ウォリスの公式02

である。
  これより

ウォリスの公式03

を得る。この式を次のように変形する。

ウォリスの公式04

  上の式の $ \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} $ の部分に着目すると、 $(*)$ の積分範囲である $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ において $0 \lt \sin x \lt 1$ であることから、

ウォリスの公式05

が成立する。ゆえに

ウォリスの公式06

が成立する。
  同様に $I_{2n-1} > I_{2n}$ も成立することから、

ウォリスの公式07

が成立する。
  右辺は ウォリスの積分公式 によって

ウォリスの公式08

と表せることから

ウォリスの公式09


が成立する。
  上の式は $n \rightarrow \infty$ における右辺の極限値が 1 であるので、すなわち、

ウォリスの公式10

であるので、

ウォリスの公式12

を得る。
  (1) 式の $n \rightarrow \infty$ に対する極限

ウォリスの公式13

を考えると、左辺は $(2)$ により

ウォリスの公式14

であり、右辺は

ウォリスの公式15

であることから

ウォリスの公式16

が成立する。
  ここで左辺の $I_{2n+1}$ に対して再び ウォリスの積分公式を適用すると

ウォリスの公式17

と表せる。よって

ウォリスの公式18

を得る。
  左辺の $2 \sqrt{n}\hspace{1mm} \frac{2^{2n} (n!)^2 }{(2n+1)!}$ は、

ウォリスの公式19

と表せることから、$ \frac{2^{2n} (n!)^2 }{\sqrt{n}(2n)!}$ と等しい極限値を持つ。すなわち、

ウォリスの公式20

である。
  以上からウォリスの公式

ウォリスの公式00

を得る。




ウォリスの公式によってスターリングの公式を導出する





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