ウォリスの公式の証明
次の関係を
ウォリスの公式 (Wallis formula) と呼ぶ。
以下に、証明を記す。
証明
$n$ を自然数として、
$$
\tag{1}
$$
と置くと、
この積分は
ウォリスの積分公式 によって、
であることが知られている。これより
が成り立つ。
この式から、
$$
\tag{2}
$$
が成り立つことが分かる。
ところで
領域 $( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} )$ では $0 \lt \sin x \lt 1$ であるので、
である。したがって、
が成り立つ。
同様に $I_{2n} \lt I_{2n-1}$ も成り立つことから、
である。
右辺は
ウォリスの積分公式 によって
と表せることから、
が成り立つ。
この不等式の右辺の $n \rightarrow \infty$ における極限値は $1$ であるので、すなわち、
であるので、
はさみうちの定理により、
.
が成り立つ。
これと
積の極限の性質から、
$(2)$
の左辺は
である。
したがって、
$(2)$ から
$$
\tag{3}
$$
が成立する。
ここで左辺の $I_{2n+1}$ に対して再び
ウォリスの積分公式を適用すると
と表せる。これと $(3)$ から、
を得る。
この関係を
ウォリスの公式 という。