ウォリスの積分

  次の積分が成立する。$n$ が偶数のとき、

ウォリスの積分公式00
$n$ が奇数のとき、

ウォリスの積分公式01

これを ウォリスの積分(Wallis' integral)と呼ぶ。
最終更新 2015年 2月 11日


  証明

  はじめに

ウォリスの積分公式02

と置く。
  $\sin^{n}x = \sin^{n-1}x \hspace{1mm} \sin x$ と分けて部分積分をすると、

ウォリスの積分公式03

これより、次の漸化式を得る。

ウォリスの積分公式04

  $n$ が偶数の場合、上の漸化式から

ウォリスの積分公式05

ここで $I_{0}$ は

ウォリスの積分公式06

であるので、

ウォリスの積分公式07

を得る。
  $n$ が奇数の場合、上の漸化式から

ウォリスの積分公式08

ここで $I_{1}$ は

ウォリスの積分公式09

であるので、

ウォリスの積分公式10

を得る。
  以上の結果を double factorial の記号

ウォリスの積分公式11

を用いて表すと、$n$ が偶数の場合

ウォリスの積分公式12

$n$ が奇数の場合

ウォリスの積分公式13

を得る。
  同じ方法で $\cos$ の場合も示される。




ウォリスの積分によってウォリスの公式を求める





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