スターリングの公式

  自然数 $N$ が十分に大きい場合に、$N$ の階乗の対数は

スターリングの公式00

と近似される。
  この近似をスターリングの公式 (Stirling's formula) という。
最終更新 2015年 11月 29日


  証明

  次の積分

スターリングの公式01
に着目する。
  積分区間を幅が $\frac{1}{2}$ の区間に分けて

スターリングの公式02
と表す。
  右辺を奇数項と偶数項に分けると、

スターリングの公式03

とまめられる。
  ここで積分

スターリングの公式04

の 被積分関数 $\log x$ は、$x=n$ では $\log n$ に等しく、それ以外の積分範囲では、$\log n$ より大きい(下図参考)。 従って、この積分は、幅が$1/2$ で高さ $\log n$ の長方形の面積よりも大きい。ゆえに

スターリングの公式05

が成立する。
  これより、左辺と右辺の差によって、$\alpha^{(+)}_{n}$ を

スターリングの公式06

と定義すると、$\alpha^{(+)}_{n}$ は正の数である。
 
スターリングの公式の証明ための対数関数ローカル
一方で 積分

スターリングの公式07

の被積分関数 $\log x$ は、 $x=n+1$ では $\log (n+1)$ に等しく、 それ以外の積分範囲では、$\log (n+1)$ より小さい(上図参考)。 従って、この積分は、幅が$1/2$ で高さ $\log (n+1)$ の長方形の面積よりも小さい。ゆえに

スターリングの公式08

が成立する。 これより、右辺と左辺の差によって、$\alpha^{(-)}_{n}$ を

スターリングの公式09

と定義すると、$\alpha^{(-)}_{n}$ は正の数である。
  $\alpha^{(+)}_{n}$ と $\alpha^{(-)}_{n}$ を用いると、積分 $I$ は

スターリングの公式10

と表される。
  この式をさらに

スターリングの公式11

と書き直す。
  $(1)$ より、積分 $I$ の値は、

スターリングの公式12

であることから

スターリングの公式13

が成立する。
  右辺の対数の和は、

スターリングの公式14

と表せるので、

スターリングの公式15

と表される。
  ここで $\delta_{N}$ を

スターリングの公式16

と定義すると、

スターリングの公式17

と表されるが、整理することにより、

スターリングの公式18
を得る。
  これより

スターリングの公式19

が成立する。
  この結果をウォリスの公式

スターリングの公式20
に代入する。
  すると左辺が

スターリングの公式21

と表されることから

スターリングの公式22
が成立する。
  後で示すように $N \rightarrow \infty$ の極限で $\delta_{N}$ は収束するので、極限を $\delta$ と定義する。すなわち、

スターリングの公式22_1
とすると、上の式から

スターリングの公式23

を得る。
  この結果から $(2)$ の右辺は十分に大きな $N$ に対して

スターリングの公式24

と近似できることが分かる。
  以上から

スターリングの公式25

を得る。
  この式から

スターリングの公式26

を得るが、$N$ が十分に大きいことから、$\log \sqrt{2\pi}$ と $-1$ の項を無視すると、

スターリングの公式27

となる。 さらに、$N$ が十分に大きいことから、

スターリングの公式27

と近似することによって、

スターリングの公式00

を得る。この式をスターリングの公式という。


 補足:   総和 $\delta_{N}$ の収束について

 上で定義した総和

スターリングの公式28

は、正の項 ($\alpha^{(+)}_{n}$) と負の項 ($-\alpha^{(-)}_{n}$) が交互に現れる総和である。 このような総和の $N \rightarrow \infty$ の極限を交代級数と呼ぶ。
  各項は

スターリングの公式29

によって定義される。
  各項の大きさを比較するために、幾つかの点を定義する(下図参考)。 点A、点B、点D をそれぞれ座標値が $(n-\frac{1}{2}, \log n)$、 $(n-\frac{1}{2}, \log (n-\frac{1}{2}))$、 $(n, \log n)$ の点とする。 点D における $\log x$ の接線と $x= n-\frac{1}{2}$ との交点を C とする。 $x= n+\frac{1}{2}$ との交点を H とする。 点E、点G、点I、点J をそれぞれ座標値が $(n+\frac{1}{2}, \log n)$、 $(n+\frac{1}{2}, \log (n+\frac{1}{2}))$、 $(n+\frac{1}{2}, \log (n+1))$、 $(n+1, \log (n+1))$ の点とする。 点D と点J を通る直線と $x= n+\frac{1}{2}$ との交点を F とする。

スターリングの図2

  $\alpha^{(-)}_{n-1}$ は曲線 DB と線分 BA と線分 AD と曲線 BD で囲まれる領域の面積である。 $\log x$ が凸関数であることから、$\alpha^{(-)}_{n-1}$ は $\triangle$DCA よりも大きい。 それを、

スターリング30

と表す。
  $\triangle$DCA と $\triangle$DHE は合同な三角形なので、互いの面積は等しい。 それを

スターリング31

と表す。
  $\alpha^{(+)}_{n}$ は曲線 DG 線分 GE と線分 ED とで囲まれる領域の面積である。 $\log x$ が凸関数であることから、その面積は、$\triangle$DHE よりも小さい。 それを

スターリング32

と表す。
  また、$\log x$ が凸関数であることから、 $\alpha^{(+)}_{n}$は、$\triangle$DFE の面積よりも大きい。 それを

スターリング33

と表す。
  $\triangle$DFE と $\triangle$JFI は合同な三角形なので、互いの面積は等しい。 それを

スターリング34

と表す。
  $\alpha^{(-)}_{n}$ は曲線 JG と線分 GI と線分 IJ と で囲まれる領域の面積である。 図からわかるように、これは $\triangle$JFI の面積よりも小さい。 それを

スターリング35

と表す。
  以上の$(2)(3)(4)(5)(6)(7)$ により、任意の $n \geq 2$ に対して

スターリング36

が成立する。
  同様に $\alpha^{(+)}_{1}>\alpha^{(-)}_{1}$ も成立するので、

スターリングの公式37

が満たされる。
  また $\alpha^{(+)}_{n}$ と $\alpha^{(-)}_{n}$ は、$n \rightarrow \infty $ の極限で 0 に収束する。 こういった性質を持つ交代級数は一般に収束するので、$\delta_{N}$ は収束する。









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