スターリングの公式の導出   - 理数アラカルト -

  スターリングの公式

  自然数 $N$ が十分に大きい場合に、$N$ の階乗の対数は


と近似される。
  この近似をスターリングの公式 (Stirling's formula) という。

  証明

  次の積分 に着目する。
  積分区間を幅が $\frac{1}{2}$ の区間に分けて

と表す。
  右辺を奇数項と偶数項に分けると、


とまめられる。
  ここで積分


の 被積分関数 $\log x$ は、$x=n$ では $\log n$ に等しく、それ以外の積分範囲では、$\log n$ より大きい(下図参考)。 従って、この積分は、幅が$1/2$ で高さ $\log n$ の長方形の面積よりも大きい。ゆえに


が成立する。
  これより、左辺と右辺の差によって、$\alpha^{(+)}_{n}$ を


と定義すると、$\alpha^{(+)}_{n}$ は正の数である。
  一方で 積分


の被積分関数 $\log x$ は、 $x=n+1$ では $\log (n+1)$ に等しく、 それ以外の積分範囲では、$\log (n+1)$ より小さい(上図参考)。 従って、この積分は、幅が$1/2$ で高さ $\log (n+1)$ の長方形の面積よりも小さい。ゆえに


が成立する。 これより、右辺と左辺の差によって、$\alpha^{(-)}_{n}$ を


と定義すると、$\alpha^{(-)}_{n}$ は正の数である。
  $\alpha^{(+)}_{n}$ と $\alpha^{(-)}_{n}$ を用いると、積分 $I$ は


と表される。
  この式をさらに


と書き直す。
  $(1)$ より、積分 $I$ の値は、


であることから


が成立する。
  右辺の対数の和は、


と表せるので、


と表される。
  ここで $\delta_{N}$ を


と定義すると、


と表されるが、整理することにより、

を得る。
  これより が成立する。
  この結果をウォリスの公式

に代入する。
  すると左辺が


と表されることから

が成立する。
  後で示すように $N \rightarrow \infty$ の極限で $\delta_{N}$ は収束するので、極限を $\delta$ と定義する。すなわち、

とすると、上の式から


を得る。
  この結果から $(2)$ の右辺は十分に大きな $N$ に対して


と近似できることが分かる。
  以上から


を得る。
  この式から


を得るが、$N$ が十分に大きいことから、$\log \sqrt{2\pi}$ と $-1$ の項を無視すると、


となる。 さらに、$N$ が十分に大きいことから、


と近似することによって、


を得る。この式をスターリングの公式という。

 補足:   総和 $\delta_{N}$ の収束について

 上で定義した総和


は、正の項 ($\alpha^{(+)}_{n}$) と負の項 ($-\alpha^{(-)}_{n}$) が交互に現れる総和である。 このような総和の $N \rightarrow \infty$ の極限を交代級数と呼ぶ。
  各項は


によって定義される。
  各項の大きさを比較するために、幾つかの点を定義する(下図参考)。 点A、点B、点D をそれぞれ座標値が $(n-\frac{1}{2}, \log n)$、 $(n-\frac{1}{2}, \log (n-\frac{1}{2}))$、 $(n, \log n)$ の点とする。 点D における $\log x$ の接線と $x= n-\frac{1}{2}$ との交点を C とする。 $x= n+\frac{1}{2}$ との交点を H とする。 点E、点G、点I、点J をそれぞれ座標値が $(n+\frac{1}{2}, \log n)$、 $(n+\frac{1}{2}, \log (n+\frac{1}{2}))$、 $(n+\frac{1}{2}, \log (n+1))$、 $(n+1, \log (n+1))$ の点とする。 点D と点J を通る直線と $x= n+\frac{1}{2}$ との交点を F とする。


  $\alpha^{(-)}_{n-1}$ は曲線 DB と線分 BA と線分 AD と曲線 BD で囲まれる領域の面積である。 $\log x$ が凸関数であることから、$\alpha^{(-)}_{n-1}$ は $\triangle$DCA よりも大きい。 それを、 と表す。
  $\triangle$DCA と $\triangle$DHE は合同な三角形なので、互いの面積は等しい。 それを と表す。
  $\alpha^{(+)}_{n}$ は曲線 DG 線分 GE と線分 ED とで囲まれる領域の面積である。 $\log x$ が凸関数であることから、その面積は、$\triangle$DHE よりも小さい。 それを と表す。
  また、$\log x$ が凸関数であることから、 $\alpha^{(+)}_{n}$は、$\triangle$DFE の面積よりも大きい。 それを と表す。
  $\triangle$DFE と $\triangle$JFI は合同な三角形なので、互いの面積は等しい。 それを と表す。
  $\alpha^{(-)}_{n}$ は曲線 JG と線分 GI と線分 IJ と で囲まれる領域の面積である。 図からわかるように、これは $\triangle$JFI の面積よりも小さい。 それを と表す。
  以上の$(2)(3)(4)(5)(6)(7)$ により、任意の $n \geq 2$ に対して が成立する。
  同様に $\alpha^{(+)}_{1}>\alpha^{(-)}_{1}$ も成立するので、


が満たされる。
  また $\alpha^{(+)}_{n}$ と $\alpha^{(-)}_{n}$ は、$n \rightarrow \infty $ の極限で 0 に収束する。 こういった性質を持つ交代級数は一般に収束するので、$\delta_{N}$ は収束する。