ユニタリー行列はエルミート行列の指数関数

最終更新 2018年 8月24日
  任意のユニタリー行列 $U$ には、
ユニタリー行列はエルミート行列の指数関数
が成り立つエルミート行列 $H$ が存在する。
  以下に証明を記す。

証明

  $U$ を $n$ x $n$ のユニタリー行列とする。 すなわち、
  この定義の
の部分から分かるように、 $U$ は正規行列である。
  一般に正規行列はユニタリー行列によって対角化可能である。 したがって、 $U$ には、
を満たすユニタリー行列 $V$ と対角行列 $\Lambda$ が存在する。
  また、一般に 対角化された行列の対角成分はその行列の固有値に等しい。 したがって、 $U$ の固有値を $\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}$ とすると、 $\Lambda$ は
と表される行列である。
  ところで、 $U$ がユニタリー行列であることから、 固有値 $\lambda_{j}$ は大きさ $1$ の複素数である。 そこで、 各固有値を
と表すと $ (j=1,2,\cdots,n)$、 $(2)$ の $\Lambda$ は
と表され、 $(1)$ から、
が成り立つことが分かる。
  この式は、 各 $e^{i \theta_{j}}$ をテーラー展開して、
と表すと、
と表される。 また、 対角行列 $\Theta$ を
と定義すると、
であるので、
と表される。
  この関係と、 $V$ がユニタリー行列であること
を用いると、
と表せるが、 累乗のユニタリー変換がユニタリー変換の累乗に等しいこと から、
が成り立つので、
と表される。
  ここで
と置くと、
となるが、 行列 $H$ は、
を満たすので、エルミート行列である。 ここで、 行列 $\Theta$ が
を満たすこと、 および、 随伴行列の性質
を用いた。
  したがって、 $(3)$ はユニタリー行列 $U$ をエルミート行列 $H$ によって表した式である。 このとき、 行列の指数関数をテーラー展開にならって
と定義すると、 $(3)$ は
となる。
  このように任意のユニタリー行列 $U$ は、 エルミート行列 $H$ の指数関数として表される。