テイラー展開の性質と例

解説
  テイラーの定理は、関数を多項式近似する式であることを説明する。
  関数 $f(x)$ の $x=c$ における接線 $f_{1} (x)$ は、 $$ \tag{1.1} $$ である。 $f(x)$ と 接線 $f_{1}(x)$ の差を $R_{2} (x)$ とすると、 $(1.1)$ から $$ \tag{1.2} $$ であり、 $f(x)$ は と表される。 この式は $n=2$ の場合のテイラーの定理と第二項まで一致する。 この式から分かるように、 $R_{2}(x)$ を良い精度で近似する二次関数が求まれば、 $f(x)$ は二次関数で近似される。
  そこで $R_{2}(x)$ の次の性質に着目する。 すなわち、 $R_{2}(x)$ が を満たす。 これらは $R_{2}(c)$ が $x=c$ において $x$ 軸と接する関数であることを意味する (下図)。 $x=c$ において $x$ 軸と接する二次関数は一般的に $$ \tag{1.3} $$ と表される。 この二次関数を $R_{2}(x)$ を近似する関数にしたい。 そこで、 $f_{2}(x)$ が $x=c$ において $R_{2}(x)$ と同じ二階微分を持つことを課すと、 すなわち、 を課すと、 $(1.2)$ と $(1.3)$ から が得られる。 これと $(1.3)$ から である。 このように得られた $f_{2}(x)$ は、 $x=c$ において $x$ 軸と接し、 同じ二階微分を持つという意味で $R_{2} (x)$ をよく近似する二次関数になっている。
  一方、 $f_{2}(x)$ は $R_{2} (x)$ と等しいわけではないので、 両者の違いを と定義すると、 $f(x)$ は と表される。 これは $n=3$ の場合のテイラーの定理と第三項まで一致する。
  このような考察を繰り返して行くと、 という式が現れる。 この式は第 $n$ 項までテイラーの定理と一致する。 これまでの考察から分かるように、 第 $n$ 項までの式は、関数 $f(x)$ を $n-1$ 次関数で近似した式と解釈される。
  ゆえにテイラーの定理は、 関数 $f(x)$ を $n-1$ 次関数で近似した式と $f(x)$ との差を表す $R_{n}(x)$ が、 $x$ と $c$ の間にある数 $\xi$ によって と表されることを示す定理である。
  $R_{n}(x)$ は 関数 $f(x)$ と $n-1$ 次近似式との差分を表しており、 剰余項と呼ばれる。 以下に証明を記す。

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解説
  テイラーの定理、テイラー級数、およびテイラーの展開可能な条件について簡潔に述べる。 テイラーの定理 $$ \tag{3.1} $$ において、 もしも剰余項が $n \rightarrow \infty$ の極限で $$ \tag{3.2} $$ となるならば、 $(3.1)$ の $n \rightarrow \infty$ の極限は、テイラー級数に等しい。 すなわち、 が成り立つ。 左辺は $n$ に依らないので、 $$ \tag{3.3} $$ と表してよい。
  このように、 関数 $f(x)$ をテイラーの定理によって表したときに、 $n \rightarrow \infty$ の極限で剰余項が $0$ に収束する場合に (つまり $(3.2$) が成り立つ場合に)、 $f(x)$ はテイラー級数に一致する。 このとき、 $f(x)$ はテイラー展開可能であるといい、 $(3.3)$ の右辺を $f(x)$ のテイラー展開という。

証明
  区間 $(c-r, c+r)$ を $I$ と表し、 関数 $f(x)$ が区間 $I$ で無限回微分可能であり、 この区間の全ての $x$ において を満たす連続関数 $g(x)$ が存在すると仮定する ($n=0,1,2,\cdots$ )。
  $f(x)$ が区間 $I$ において無限回微分可能であることから、 テイラーの定理によって、 を満たす $c$ と $x$ の間にある数 $\xi$ が存在する。
  最後の項(剰余項)を と表すと、 $R_{N}$ の絶対値は を満たす。
  右辺の $ |f^{(N)}(\xi)| $ に着目する。 $\xi$ は $x$ と $c$ の間の数であるので、 区間 $I$ に含まれる。 ゆえに、仮定から を満たす連続関数 $g(x)$ が存在する。
  $g(x)$ は区間 $I$ で定義される連続関数であるので、 $I$ の内部に含まれる閉区間 $[\xi-\alpha, \xi+\alpha]$ において連続関数である ($\alpha$ は十分に小さな値)。 ゆえに $g(x)$ は、この閉区間の中に最大値を持つ (連続関数の最大値・最小値の定理)。 その最大値を $M$ とすると である。 これより、 が成り立つ。
  ところで $x \in I$ であるので ($ c-r \lt x \lt c+r $ を満たすので)、 である。 ゆえに が成立する。
  ここで数列 $a_{N}$ を と定義すると、 この数列には の関係がある。 十分に大きな $N$ に対しては、$\frac{r}{N} \lt 1$ であることから、 $N \rightarrow \infty $ の極限において、$a_{N}$ はゼロに収束する (補足1 参考)。 すなわち、
である。 これより となる。 したがって である。
  これより、 を得る。
  左辺の $f(x)$ は $N$ に依らないので、 上の式は、 と表せる。 右辺の極限を と略記することにより、 と表せる。 これは $x=c$ でのテイラー展開そのものである。