コーシーの平均値の定理
関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $[a,b]$ で
連続で、区間 $(a,b)$ で微分可能な場合、
を満たす実数 $\xi \in (a,b)$ が存在する。
ただし、区間 $(a,b)$ で $g'(x) \neq 0$ とする。
これを
コーシーの平均値の定理 (Cauchy's mean value theorem) という。
証明
関数 $F(x)$ を
と定義する。
関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続で、
区間 $(a,b)$ で微分可能であることから、
$F(x)$ もまた区間 $[a,b]$ で連続で、区間 $(a,b)$ で微分可能である
(
微分可能 ⇒ 連続)。
また $F(x)$ は
を満たす。
ゆえに
ロルの定理から $F'(\xi)=0$ を満たす $\xi \in (a,b)$ が存在する。
すなわち、
を満たす $\xi \in (a,b)$ が存在する。 上の式を書き直すと、
である。
補足
コーシーの平均値の定理の $f(x)=x$ の場合が、
平均値の定理である。