平均値の定理

最終更新 2018年 2月22日
平均値の定理とその概要
  関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続で、 区間 $(a,b)$ で微分可能な場合、
平均値の定理
を満たす $ \xi $ $(a < \xi < b)$ が存在する。
  これを平均値の定理 (mean value theorem) という。
  上の式の左辺は、 二つの点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線の傾きである。 一方で右辺は、関数 $f(x)$ の $x=\xi$ における接線の傾きである。
平均値の定理の図
したがって、 平均値の定理は次のように解釈できる。 すなわち、 関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続で、 区間 $(a,b)$ で微分可能な場合には、 二つの点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線の傾きと等しい傾きを持つ接線が 区間 $(a,b)$ の中に存在する (上図)。
証明
  関数 $F(x)$ を
と定義する。
  関数 $f(x)$ が区間 $a\leq x \leq b$ で連続で、区間 $a < x < b$ で微分可能であることから、 $F(x)$ もまた区間 $a\leq x \leq b$ で連続で、区間 $a < x < b$ で微分可能である。
  また、
が成り立つ。 実際に計算してみると、
である。
  ゆえに ロルの定理から $F'(\xi)=0$ を満たす $\xi$ $(a < \xi < b)$ が存在する。 すなわち、
を満たす $\xi$ $(a < \xi < b)$ が存在する。
  この式を書き直すと、
である。
  以上から、 関数 $f(x)$ が区間 $a\leq x \leq b$ で連続で、 区間 $a < x < b$ で微分可能な場合、
を満たす $ \xi $ $(a < \xi < b)$ が存在することが示された。
補足:
  コーシーの平均値の定理は、平均値の定理の一般化と見なされる。