テイラーの定理

  $f(x)$ が区間 $a \lt x \lt b$ で $n$ 階微分可能な関数のとき、 この区間に含まれる任意の $x$ と、固定された $c$ に対して、

テイラーの定理00

を満たす $c$ と $x$ の間の数 $\xi$ が存在する。
  これをテイラーの定理という。

最終更新 2015 年 9月 27日


  テイラーの定理の証明

  $x=c$ の場合、明らかに $(*)$ は成立する。 そこで以下では、$x \neq c$ のみ考察する。

  関数 $F(x)$ と $G(x)$ をそれぞれ

テイラーの定理01

と定義し、 $a \lt x \lt c$ の場合の証明を行う。
  $x \lt \tilde{x} \lt c$ を満たす任意の $\tilde{x}$ に対して、 関数 $F(\tilde{x})$ と $G(\tilde{x})$ は、 区間 $x \leq \tilde{x} \leq c$ で連続であり、 区間 $x \lt \tilde{x} \lt c$ で微分可能である。 ゆえにコーシーの平均値の定理から

テイラーの定理02

を満たす $x \lt x_{1} \lt c$ が存在することが示される。
  定義より $F(c)=G(c)=0$ であるので、

テイラーの定理03

が成立する。
  $x_{1} \lt \tilde{x}_{1} \lt c$ を満たす任意の $\tilde{x}_{1}$ に対して、 関数 $F(\tilde{x}_{1})$ と $G(\tilde{x}_{1})$ は、 区間 $x_{1} \leq \tilde{x}_{1} \leq c$ で連続であり、 区間 $x_{1} \lt \tilde{x}_{1} \lt c$ で微分可能である。 ゆえに、コーシーの平均値の定理から

テイラーの定理04

を満たす $x_{1} \lt x_{2} \lt c$ が存在することが示される。
  定義より $F'(c)=G'(c)=0$ であるので、

テイラーの定理05

が成立する。
  以上から

テイラーの定理06

を得る。 ここで $x \lt x_{2} \lt c$ である。
  同様の手続きを $F^{(n)}$ が現れるまで繰り返すことによって

テイラーの定理07

を満たす $x \lt x_{n} \lt c$ が存在することが示される。
  上の式は、$F^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) $ と $G^{(n)}(x_{n}) = n!$ により、

テイラーの定理08

と表される。
  この式で $x_{n} = \xi$ とすると、$F(x)$ の定義から


テイラーの定理09

と表されるが、書き直すと、

テイラーの定理00

である。 ここで $\xi$ は $x$ と $c$ の間の数である。
  以上より $a \lt x \lt c$ の場合にテイラーの定理が証明された。

  $c \lt x \lt b$ の場合も、同様の考察によって証明される。





テイラー展開可能な条件






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