終結式

  $n$次多項式 $f(x)$ と $g(x)$ が $m$ 個の共通のパラメータ $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}$を持ち、 $$ f(x, t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}) = 0 \\ g(x, t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}) = 0 $$ を満たすとする。 このとき、パラメータ間の関係を表す $$ h(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}) = 0 $$ を終結式 (resultant) という。
  終結式には幾つかの種類があり、その中の一つがシルベスターの終結式 (Sylvester's resultant) である。
最終更新 2015 年 3月 8日


  シルベスターの終結式

  $f(x)$ は $n$ 次多項式であるので、$n+1$ 個のパラメータによって $$ f(x) = f_{n} x^{n} + f_{n-1}x^{n-1} + \cdots + f_{1}x + f_{0} $$ と表せる。$g(x)$ は $m$ 次多項式であるので、$m+1$ 個のパラメータによって $$ g(x) = g_{m} x^{n} + g_{m-1}x^{n-1} + \cdots + g_{1}x + g_{0} $$ と表せる。
  これらが $$ f(x) = 0 \\ g(x) = 0 $$ を満たす場合、パラメータ間の関係式 $$ h(f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{n}, g_{0}, g_{1}, \cdots, g_{m}) = 0 $$ を与える方法を議論する。
  上の式を求めるには、$n$ 次方程式 $f(x) = 0$ か $m$ 次方程式 $g(x) = 0$ の片方を解き、 その結果を他方に代入すればよい。しかし、一般的には方程式 $f(x) = 0$ も $g(x) = 0$ も解くことはできない。 そこで次のような方法をとる。

  $f(x) = 0$ であるので、 $$ f(x) = 0, \hspace{5mm} x f(x) = 0, \hspace{5mm}\cdots \hspace{5mm} ,x^{m-1} f(x) = 0 $$ が満たされる。 $g(x) = 0$ であるので、 $$ g(x) = 0, \hspace{5mm}x g(x) = 0,, \hspace{5mm} \cdots ,x^{n-1} g(x) = 0 $$ が満たされる。すなわち \begin{eqnarray} f_{n} x^{n} + f_{n-1}x^{n-1} + \cdots + f_{1}x + f_{0} &=& 0, \\ f_{n} x^{n+1} + f_{n-1}x^{n} + \cdots + f_{1}x^{2} + f_{0}x &=& 0, \\ &\vdots& \\ f_{n} x^{n+m-1} + f_{n-1}x^{n+m-2} + \cdots + f_{1}x^{m} + f_{0}x^{m-1} &=& 0, \\ g_{m} x^{m} + g_{m-1}x^{m-1} + \cdots + g_{1}x + g_{0} &=& 0, \\ g_{m} x^{m+1} + g_{m-1}x^{m} + \cdots + g_{1}x^{2} + g_{0}x &=& 0, \\ &\vdots& \\ g_{m} x^{m+n-1} + g_{m-1}x^{m+n-2} + \cdots + g_{1}x^{n} + g_{0}x^{n-1}&=& 0 \end{eqnarray} が満たされる。
  上の複数の式は、$(n+m) \times (n+m)$ 行列 $A$ と、 $n+m$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ によって、 $$ A \mathbf{x} = 0 $$ と表せる。ここで 行列 $A$ は \begin{eqnarray} A=\left[ \begin{array}{cccccccccccccccc} f_{n} & f_{n-1} &\cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots&f_{2} & f_{1} & f_{0} & 0 & & \cdots & & 0\\ 0 & f_{n} &\cdots &\cdots & & & & & & & f_{1} & f_{0} & & && \\ & &\ddots & & & & & & & & & &\ddots & &&\\ 0 & 0 & & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & & & & & & & & & f_{0} & 0 \\ 0 & 0 & & 0 & f{n} & \cdots & & & & & & & & & f_{1} & f_{0} \\ g_{m}& g_{m-1} &\cdots& g_{2} & g_{1} & g_{0} & & & & & & & & & & \\ 0 & g_{m} &\cdots& g_{3} & g_{2} & g_{1} & g_{0} & \cdots & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & & \vdots \\ & & & & & & & \ddots & & & & & & & & \vdots \\ & & & & & & & \cdots & g_{m} & g_{m-1}&\cdots& & & & g_{0} &0 \\ 0 & & & & & & & \cdots & 0 & g_{m} &\cdots& & & & g_{1} & g_{0} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray} である。 またベクトル $\mathbf{x}$ は、 \begin{eqnarray} \mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} x^{m+n-1}\\ x^{m+n-2}\\ \vdots \\ x^{n+1}\\ x^{n}\\ x^{n-1}\\ \vdots \\ x^{m+1}\\ x^{m}\\ x^{m-1}\\ \vdots \\ x\\ 1 \end{array} \right] \end{eqnarray} である。
  定義より $\mathbf{x}\neq 0$ であるので、$A \mathbf{x} = 0$ の解は、 自明な解 $(\mathbf{x}=0)$ ではない。よって、 \begin{eqnarray} |A| = 0 \end{eqnarray} が満たされる。
  この式はパラメータ $\{f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{n}, g_{0}, g_{1}, \cdots, g_{m} \}$ の間の関係を表す代数方程式である。 これをシルベスターの終結式と呼ぶ。





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