対数関数を扱う上でよく使われる性質

証明
  底を $a$ とする対数関数をそれぞれ と置くと、 対数関数の定義から、 であり、 が成り立つ。
  すると、 再び対数関数の定義の定義から $ u_x + u_y$ は、 と表される。 ゆえに、 が成立する。

証明
  底を $a$ とする対数関数 を と置くと、 対数関数の定義から、 である。 よって、 が成り立つ。
  すると、 対数関数の定義から、 $pu$ が と表されるので、 が成り立つ。

証明
  はじめに と表し、 右辺に対し、 積の対数関数の性質を用いると、 である。 ここで、 $\log_{a} y^{-1}$ が べき関数の対数関数の性質から、 と表せるので、 が成り立つ。

証明
  はじめに と置く。 対数関数の定義から である。 これより、 である。 対数関数の性質から、 左辺を と表せるので、 が成立する。 $y = \log_{a} x$ であったので、 この式から、 を得る。

証明
  対数関数の微分が であることから、 $x \log x$ の微分は である。 これより、 を得る。

証明
  $f(x) = \log_{a} x$ $(x>0)$ とすると、 分数の対数関数の性質から であり、 $h>0$ であるならば、 であるので、 が成り立つ ($b > 1$ ならば $\log_{a} b > 0$ を用いた)。 よって、 が成り立つ。 図は、底が $e$ の対数関数(赤線)と、 底が $10$ の対数関数(青線)である。 単調増加している様子が見て取れる。

証明
  はじめに、 \begin{eqnarray} && \log f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \\ && \Longrightarrow \hspace{5mm} f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \end{eqnarray} を証明する。
  正の関数 $f(x)$ の対数関数 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になると仮定する。 すなわち、任意の $x$ に対して、 が成立すると仮定する。 分数の対数関数の性質を用いると、 が成り立つことが分かるので、 $\log$ が単調増加関数であることから、 である。 これと $f(x) > 0$ であることから、 を得る。 これは関数 $f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になることを表している。   続いて \begin{eqnarray} && \log f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \\ && \Longleftarrow \hspace{5mm} f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \end{eqnarray} を証明する。
  そこで、任意の正の $x$ に対して、 が成立すると仮定する。 $f(x) > 0$ であるので、 が成り立ち、 $\log$ が単調増加関数であることから、 である。この式は 分数の対数関数の性質を用いると、 と表せる。 これは $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になることを表している。