対数関数を解説 ～ 性質/公式 ～
| 定義と例 | |
|---|---|
| - | 定義: |
| - | 例: 常用対数 |
| - | 例: 二進対数 |
| - | 例: 自然対数 |
| 基礎 | |
|---|---|
| - | $\log 1 = 0$ |
| - | $\log_{a}a = 1$ |
| - | その他 |
| 性質 | |
|---|---|
| - | 積: $\log (xy)$ |
| - | べき関数: $\log x^p$ |
| - | 分数: $\log \frac{y}{x}$ |
| - | 底変換の公式 |
| - | 連続性 |
| - | 微分: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \log x$ |
| - | 積分: $\int \log x \mathrm{d}x$ |
| - | 単調性 |
| - | $\log f(x)$ が最大 ⇒ $f(x)$ も最大 |
対数関数の定義
指数関数
下の左図が $10$ を底とする指数関数、 右図が $10$ を底とする対数関数である。 互いに一方が他方の逆関数になっている。
例: 常用対数
底が $10$ の対数関数を常用対数 (common logarithm) という。
具体例
$x = 10^{y}$ であるので、 例えば、$x=100$ の場合、$y=2$ である。 すなわち、
である。$x=1000$ の場合、$y=3$ である。すなわち、
である。
常用対数は $10$ 進数での桁数を表すときや、地震のマグニチュードなどで用いられる。
$x = 10^{y}$ であるので、 例えば、$x=100$ の場合、$y=2$ である。 すなわち、
常用対数は $10$ 進数での桁数を表すときや、地震のマグニチュードなどで用いられる。
例: 二進対数
底が $2$ の対数関数を二進対数 (binary logarithm) という。
具体例
$x = 2^{y}$ であるので、 例えば、$x=8$ の場合、$y=3$ である。 すなわち、
である。$x=16$ の場合、$y=4$ である。すなわち、
である。
二進対数は情報理論でよく用いられる。
$x = 2^{y}$ であるので、 例えば、$x=8$ の場合、$y=3$ である。 すなわち、
二進対数は情報理論でよく用いられる。
例: 自然対数
底が $e$ (ネピアの定数) の対数関数を自然対数 (natural logarithm) という。
補足
$x = e^{y}$ であるので、 例えば、$x=e$ の場合、$y=1$ である。 すなわち、
である。自然対数は
$ \log_{e}$
の代わりに
$\ln$
という記号を用いることがある。
自然対数は理論物理学で用いられることが多い。
$x = e^{y}$ であるので、 例えば、$x=e$ の場合、$y=1$ である。 すなわち、
$\log 1$
$1$ の対数は
$0$ である。
すなわち、
証明
対数の定義より、 $\log_{a} 1 = y$ とすると、 $ a^{y} = 1 $ である。よって、 $y=0$ である (正確には指数関数の定義を用いる) 。
対数の定義より、 $\log_{a} 1 = y$ とすると、 $ a^{y} = 1 $ である。よって、 $y=0$ である (正確には指数関数の定義を用いる) 。
$\log_{a} a$
底と真数が等しい対数の値は
$1$ である。
すなわち、
証明
対数の定義より、 $\log_{a} a = y$ とすると、 $ a^{y} = a $ である。よって、 $y=1$ である。
対数の定義より、 $\log_{a} a = y$ とすると、 $ a^{y} = a $ である。よって、 $y=1$ である。
その他の性質
$a \gt 1$ かつ $ b \gt 1 $ ならば、
\begin{eqnarray}
\log_{a} b \gt 0
\end{eqnarray}
が成り立つ。
証明
\begin{eqnarray} \log_{a} b = x \end{eqnarray} とすると、 \begin{eqnarray} b = a^x \end{eqnarray} であり、$a \gt 1$ の場合 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{cl} b \lt 1 & (x \lt 0) \\ b = 1 & (x = 0) \\ b \gt 1 & (x \gt 0) \end{array} \right. \end{eqnarray} である。よって、 $b \gt 1$ の場合、$x \gt 0$ である。
\begin{eqnarray} \log_{a} b = x \end{eqnarray} とすると、 \begin{eqnarray} b = a^x \end{eqnarray} であり、$a \gt 1$ の場合 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{cl} b \lt 1 & (x \lt 0) \\ b = 1 & (x = 0) \\ b \gt 1 & (x \gt 0) \end{array} \right. \end{eqnarray} である。よって、 $b \gt 1$ の場合、$x \gt 0$ である。
積の対数
積 $xy$ の対数は、
$x$ の対数と $y$ の対数の和に等しい。
すなわち、
証明
底を $a$ とする対数関数をそれぞれ
と置くと、
対数関数の定義から、
であり、
が成り立つ。
すると、 再び対数関数の定義の定義から $ u_x + u_y$ は、
と表される。
ゆえに、
が成立する。
底を $a$ とする対数関数をそれぞれ
すると、 再び対数関数の定義の定義から $ u_x + u_y$ は、
べき関数の対数関数
べき関数 $x^{p}$ の対数関数は、
べきと対数関数の積になる。
すなわち、
分数の対数関数
分数 $x/y$ の対数関数は、
$x$ の対数関数と $y$ の対数関数の差に等しい。
すなわち、
対数関数の底変換
底が $a$ の対数関数 $\log_{a} x$ は、
底が $b$ の対数関数 $\log_{b} x$ によって、
証明
はじめに
と置く。
対数関数の定義から
である。
これより、
である。
対数関数の性質から、
左辺を
と表せるので、
が成立する。
$y = \log_{a} x$ であったので、
この式から、
を得る。
はじめに
連続性
対数関数は連続関数である。
対数関数の微分
底が $e$ の対数関数 $\log {x}$ の微分は、
証明
$x = e^{y}$ の逆関数が $y= \log x$ であるので、 逆関数の微分によって
である。
$x = e^{y}$ の逆関数が $y= \log x$ であるので、 逆関数の微分によって
対数関数 log の積分
対数関数 log の積分は、
対数関数の単調性
底が $1$ より大きい場合、
対数関数は単調増加関数である。
すなわち、
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \log_{a} x \hspace{5mm} (a \gt 1)
\end{eqnarray}
とするとき、
\begin{eqnarray}
f(x) \lt f(x+h) \hspace{5mm} (h \gt 0)
\end{eqnarray}
が成り立つ。
証明
分数の対数関数の性質から \begin{eqnarray} && f(x+h) - f(x) \\ &&= \log_{a} (x+h) - \log_{a} x \\ &&= \log_{a} \frac{x+h}{x} \\ &&= \log_{a} \left( 1+\frac{h}{x} \right) \end{eqnarray} であり、 $h>0$ であるので \begin{eqnarray} 1+\frac{h}{x} \gt 1 \end{eqnarray} であるので、 \begin{eqnarray} \log_{a} \left( 1+\frac{h}{x} \right) \gt 0 \end{eqnarray} が成り立つ ($b > 1$ ならば $\log_{a} b > 0$ を用いた)。 よって、 \begin{eqnarray} f(x+h) \gt f(x) \end{eqnarray} が成り立つ。
図は、底が $e$ の対数関数(赤線)と、
底が $10$ の対数関数(青線)である。
単調増加している様子が見て取れる。
分数の対数関数の性質から \begin{eqnarray} && f(x+h) - f(x) \\ &&= \log_{a} (x+h) - \log_{a} x \\ &&= \log_{a} \frac{x+h}{x} \\ &&= \log_{a} \left( 1+\frac{h}{x} \right) \end{eqnarray} であり、 $h>0$ であるので \begin{eqnarray} 1+\frac{h}{x} \gt 1 \end{eqnarray} であるので、 \begin{eqnarray} \log_{a} \left( 1+\frac{h}{x} \right) \gt 0 \end{eqnarray} が成り立つ ($b > 1$ ならば $\log_{a} b > 0$ を用いた)。 よって、 \begin{eqnarray} f(x+h) \gt f(x) \end{eqnarray} が成り立つ。
$\log f(x)$ が最大になるとき、$f(x)$ も最大になる
正の関数 $f(x)$ の対数
$\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大値をとるならば、
もとの関数 $f(x)$ もまた $x=x_{m}$ で最大になる。
また、その逆も成立する。
すなわち、
$f(x)>0$ であるとき、
証明
はじめに、 \begin{eqnarray} && \log f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \\ && \Longrightarrow \hspace{5mm} f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \end{eqnarray} を証明する。
正の関数 $f(x)$ の対数関数 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になると仮定する。 すなわち、任意の $x$ に対して、
が成立すると仮定する。
分数の対数関数の性質を用いると、
が成り立つことが分かるので、
$\log$ が単調増加関数であることから、
である。
これと $f(x) > 0$ であることから、
を得る。
これは関数 $f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になることを表している。
続いて
\begin{eqnarray}
&&
\log f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値
\\
&&
\Longleftarrow
\hspace{5mm}
f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値
\end{eqnarray}
を証明する。
そこで、任意の正の $x$ に対して、
が成立すると仮定する。
$f(x) > 0$ であるので、
が成り立ち、
$\log$ が単調増加関数であることから、
である。この式は
分数の対数関数の性質を用いると、
と表せる。
これは
$\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になることを表している。
はじめに、 \begin{eqnarray} && \log f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \\ && \Longrightarrow \hspace{5mm} f(x) \hspace{1mm} が \hspace{1mm} x=x_{m} \hspace{1mm} で最大値 \end{eqnarray} を証明する。
正の関数 $f(x)$ の対数関数 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になると仮定する。 すなわち、任意の $x$ に対して、
そこで、任意の正の $x$ に対して、