対数関数を扱う上でよく使われる性質

最終更新 2017年 1月28日

対数関数の定義

  指数関数
は、 $y$ に関する単調増加関数であるので、 逆関数が存在する。 これを
対数関数の底変換
と表し、 底を $a$ とする対数関数と呼ぶ。

積の対数関数

  積 $xy$ の対数関数は、 $x$ の対数関数と $y$ の対数関数の和になる。 すなわち、
積の対数関数
が成立する。
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べき関数の対数関数  

  べき関数 $x^{p}$ の対数関数は、 べきと対数関数の積になる。 すなわち、
冪の対数関数
が成立する。
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分数の対数関数

  分数 $x/y$ の対数関数は、 $x$ の対数関数と $y$ の対数関数の差に等しい。 すなわち、
分数の対数関数
が成立する。
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対数関数の底変換

  底が $a$ の対数関数 $\log_{a} x$ は、 底が $b$ の対数関数 $\log_{b} x$ によって、
対数関数の底変換の公式
と表される。
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対数関数の微分

  底が $e$ の対数関数 $\log {x}$ の微分は、
対数関数の微分
である $(x > 0)$。
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対数関数 log の積分

  対数関数 log の積分は、
対数関数の積分
である。
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対数関数は単調増加関数

  対数関数は単調増加関数である。 すなわち、
とするとき、 $h>0$ であるならば
が成り立つ。
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  $\log f(x)$ が最大になるとき、$f(x)$ も最大になる

  正の関数 $f(x)$ の対数 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大値をとるならば、 もとの関数 $f(x)$ もまた $x=x_{m}$ で最大になる。
  また、その逆も成立する。 よって、$f(x)>0$ ならば
が成立する。
$\log f(x)$ が最大になるとき、$f(x)$ も最大になる証明はこちら