密度作用素と統計集団

話を簡潔にするため、 有限次元の量子力学に議論を限定する。   物理系の状態ベクトルが確率的に割り当てられた状態を統計集団(アンサンブル)という。 例えば、 量子状態が確率 $p_{1}$ で $ |\psi_{1} \rangle $ であり、 確率 $p_{2}$ で $ |\psi_{2} \rangle $ である統計集団は、 $$ \tag{1.1} $$ と表される。ここで、 である。
  同様に、$i=1,2,\cdots,n$ に対して、 量子状態が確率 $p_{i}$ で状態ベクトル $ |\psi_{i} \rangle $ である統計集団は、 $$ \tag{1.2} $$ と表され、 である。   統計集団 $(1.2)$ は 量子状態が確率 $p_{1}$ で $| \psi_{1} \rangle$ であり、 確率 $p_{2}$ で $| \psi_{2} \rangle$ である状態である。 したがって、 この状態に対して物理量 $A$ を測定して $A=a$ という結果が得られる確率は、 で表される。 ここで第一項は、 量子状態が $| \psi_{1} \rangle$ であり、 なおかつ $| \psi_{1} \rangle$ で $A$ を観測すると $A=a$ と観測される同時確率である。 第二項も同様である。
  量子状態が $| \psi_{i} \rangle$ であるという事象と、 $| \psi_{i} \rangle$ で $A$ を観測すると $A=a$ と観測される事象が独立であるとすると、 同時確率が個々の事象の確率の積に分けられ、 $$ \tag{2.1} $$ と表される。 ここで、第一項の は、量子状態が $| \psi_{1} \rangle$ である確率であり、 統計集団 $(1.1)$ の $p_{1}$ に等しい。 また、 は、 $| \psi_{1} \rangle$ で $A$ を観測すると $A=a$ と観測される確率であり、 に等しい。ここで $| a \rangle$ は $A$ の固有ベクトル である (正確には固有ベクトルではなく $A$ のスペクトル射影を用いて記述すべきであるが、 ここでは分かり易さを優先して、よく知られた固有ベクトルを用いた)。 $(2.1)$ の第二項も第一項と同様に考えると、 と表せる。これが統計集団 $(1.1)$ に対して $A$ を観測し $A=a$ という結果を得る確率である。
  全く同じように、 統計集団 $(1.2)$ に対して $A$ を観測し $A=a$ という結果を得る確率は、 $$ \tag{2.2} $$ と表される。   $\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の正規直交基底とするとき、 状態ベクトル $$ \tag{3.1} $$ から成る統計集団 $$ \tag{3.2} $$ に対して、物理量 $$ \tag{3.3} $$ の確率を求めよ。

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  統計集団の確率と同様の議論を展開すると分かるように、 量子状態が 統計集団 $$ \tag{4.1} $$ であるときに得られる $A$ の期待値は、 $$ \tag{4.2} $$ である。 ここで、$ \langle \psi_{i} \hspace{0.5mm}| A |\hspace{0.5mm} \psi_{i} \rangle $ は量子状態が $| \psi_{i} \rangle$ のときに $A$ を観測して得られる期待値である。   $\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の正規直交基底とするとき、 状態ベクトル $$ \tag{5.1} $$ から成る統計集団 $$ \tag{5.2} $$ に対して、物理量 $$ \tag{5.3} $$ の期待値を求めよ。

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  次の形をした作用素 が $$ \tag{6.1} $$ を満たすとき、密度作用素 (density operator) という。 また、 統計集団 は、 $(6.1)$ を満たすので、 各統計集団に対応する密度作用素を定義できる。     統計集団 に対する密度作用素は、 である。   統計集団 に対して観測を行って、 物理量 $A$ が $a$ と観測される確率は、 密度作用素 $\rho$ によって $$ \tag{8.1} $$ と表される。 ここで $| a \rangle$ は $A$ の固有値 $a$ の固有ベクトルであり、 $\mathrm{Tr} $ はトレースである。

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  $\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の正規直交基底とするとき、 状態ベクトル から成る密度作用素 に対して、物理量 を観測したときの確率について述べよ。

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  統計集団 に対する物理量 $A$ の期待値は、 密度作用素 $\rho$ によって、 $$ \tag{9.1} $$ と表される。

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  $\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle\}$ をヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の正規直交基底とするとき、 状態ベクトル から成る密度作用素 に対して、物理量 を観測したときの期待値を求めよ。

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  密度作用素 $\rho$ は半正定値作用素であり、 トレースが $1$ である。 すなわち、 $$ \tag{11.1} $$ が成り立つ。逆に $(11.1)$ が成り立つ作用素は密度作用素である。

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  密度作用素 が を満たすことを確かめる。

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