関連

  微分可能な関数は連続関数

  関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるならば、 $f(x)$ は、 $x=a$ で連続である。 すなわち、

微分可能ならば連続00

が存在するならば、

微分可能ならば連続01
が成立する。
最終更新 2016年 8月 11日


  証明

 
微分可能と連続
  次の極限

微分可能ならば連続02

が存在するときに、 関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるという。 その極限値を $f'(a)$ と表すと、

微分可能ならば連続03

である。
  極限 $(1)$ は、 本来はイプシロン論法によって、 次のように定義される。 すなわち、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、

微分可能ならば連続04

を満たす $\delta$ と値 $f'(a)$ が存在する。
  一方で、 関数 $f(x)$ の $x\rightarrow a$ の極限値が $f(a)$ に等しいとき すなわち、

微分可能ならば連続05

が成立するとき、 $f(x)$ は $x=a$ で連続であるという。
  極限 $(3)$ は、 本来はイプシロン論法によって、 次のように定義される。 すなわち、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、

微分可能ならば連続06

を満たす $\delta$ が存在する。
  従って、 関数 $f(x)$ が $x=a$ において微分可能ならば、 $x=a$ で連続関数になることをを証明するためには、 $(2)$ で述べたことから $(4)$ が成立することを示せばよい。



微分可能ならば連続の証明
  上の方針に従って証明する。
  任意の正の数 $\epsilon$ に対して、

微分可能ならば連続07

を満たす $\delta$ と値 $f'(a)$ が存在すると仮定する。
  三角不等式によって、 右側の絶対値の部分に対して、

微分可能ならば連続08

が成立するので、

微分可能ならば連続09

である。 $(5)$ の右側の不等式は、 両辺に $|x-a|$ を掛けて整理することによって、

微分可能ならば連続10

と表せるので、 $(5)$ を

微分可能ならば連続11

と書き直せる。
  従って、 $(2)$ と $(6)$ から 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、

微分可能ならば連続12

を満たす $\delta$ と値 $f'(a)$ が存在する。
  ところで、 $\epsilon> 0$ であることから、

微分可能ならば連続13

が成立するので、

微分可能ならば連続14

を満たす正の数 $\delta'$ が存在する。 また、 $\delta > 0$ であることから、 $\delta' $ が十分に小さいならば、 $(8)$ とともに

微分可能ならば連続15

も満たす正の数 $\delta'$ が存在する。
  このような $\delta'$ に対し、 $ |x-a| < \delta' $ であるならば、 $(7)$ $(8)$ $(9)$ から、

微分可能ならば連続16

が成立する。
  以上から、微分可能であること $(2)$ を仮定すると、 任意の $\epsilon > 0$ に対して、

微分可能ならば連続17

を満たす $\delta' $ が存在することが示された。 ゆえに、 $f(x)$ は、 $x=a$ において連続である。








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