外積の長さ = 平行四辺形の面積
| 目次 | |
|---|---|
| - | 平行四辺形の面積 |
| - | sin と外積との関係 |
| - | 三角形の面積 |
平行四辺形の面積
2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る
平行四辺形の面積 $S$ は、
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積の長さ
(ノルム) に等しい。
\begin{eqnarray}
S =
\|
\mathbf{a} \times \mathbf{b}
\|
\end{eqnarray}
が成り立つ。
ここで、 $\theta$ はベクトル $ \mathbf{a} $ と $ \mathbf{b} $ の成す角であり、 $0 \leq \theta \leq \pi$ とする。
証明
2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ によって構成される平行四辺形の面積を $S$ とする(下図)。
平行四辺形の面積は、
底辺と高さの積であるので、
である。
両辺を二乗すると、
が成立するが、内積とコサインの間に
の関係があるので、
と表せる。
右辺を成分で表して計算すると、
であるが、
最後に現れた3つの項は、
外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の3成分そのものであるので、
すなわち、
であるので、
が成立する。
これと $(2)$ から、
をうる。
2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ によって構成される平行四辺形の面積を $S$ とする(下図)。
両辺を二乗すると、
右辺を成分で表して計算すると、
外積と $\sin$
上の議論から明らかなように、
2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$
によって構成される平行四辺形の面積 $S$ は
外積のノルムに等しく、
すなわち、
\begin{eqnarray}
S &=& \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \|
\end{eqnarray}
であり、
一方で、$S$ は底辺×高さに等しい。
すなわち、
\begin{eqnarray}
S = \| \mathbf{a} \| \hspace{1mm}\| \mathbf{b} \| \sin \theta
\end{eqnarray}
である。したがって
\begin{eqnarray}
\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \| = \| \mathbf{a} \| \hspace{1mm}\| \mathbf{b} \| \sin \theta
\end{eqnarray}
が成り立つ。
このように外積のノルムから成す角のsinが得られる。
三角形の面積
ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る三角形の面積 $T$ は、
\begin{eqnarray}
T = \frac{1}{2} \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \|
\end{eqnarray}
である。
証明
ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る平行四辺形の面積が $S$ が \begin{eqnarray} S = \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \| \end{eqnarray} であり、 三角形の面積 $S$ は平行四辺形の面積 $T$ の半分であるので、 \begin{eqnarray} T &=& \frac{1}{2}S \\ &=& \frac{1}{2} \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \| \end{eqnarray} である。
ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る平行四辺形の面積が $S$ が \begin{eqnarray} S = \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \| \end{eqnarray} であり、 三角形の面積 $S$ は平行四辺形の面積 $T$ の半分であるので、 \begin{eqnarray} T &=& \frac{1}{2}S \\ &=& \frac{1}{2} \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \| \end{eqnarray} である。