外積の大きさは平行四辺形の面積に等しい  

最終更新 2017年 12月30日
  2つのベクトルの外積の大きさは、 これらが構成する平行四辺形の面積に等しい。 すなわち、
外積の大きさは平行四辺形の面積
が成立する。 ここで、 $\theta$ はベクトル $ \mathbf{a} $ と $ \mathbf{b} $ の成す角であり、 $0 \leq \theta \leq \pi$ とする。

  証明

  2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ によって構成される平行四辺形の面積を $S$ とする(下図)。
平行四辺形の面積は、 底辺と高さの積であるので、
である。
  両辺を二乗すると、
が成立するが、内積とコサインの間に
の関係があるので、
と表せる。
  右辺を成分で表して計算すると、
であるが、 最後に現れた3つの項は、 外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の3成分そのものであるので、 すなわち、
であるので、
が成立する。 これと $(2)$ から、
をうる。
  このように、 平行四辺形の面積は、 外積の大きさに等しい。 $(1)$ を用いて表すと、
である。