ベクトルの内積とコサインの関係性の証明     - 理数アラカルト -

  内積とコサインの関係性

  任意のベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の間の成す角を $\theta$ とするとき、 の関係が成立する。

  証明

 
余弦定理の観点から証明:
  余弦定理によると、 ベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ と成す角 $\theta$ の間には、 が成立する(下図)。
  左辺を展開すると、 であるので、 が成立する。 これを整理すると、 を得る。


シュワルツの不等式の観点から証明:
  シュワルツの不等式によって、 が成立する。 $\mathbf{a} \neq 0$ かつ $\mathbf{b} \neq 0$ の場合には、 と表される。
  ところで、余弦関数は、区間 $[0, \hspace{0.5mm} \pi]$ において、 $1$ から $-1$ までの値をとる単調減少関数である。 このことは、 $1$ から $-1$ までのどんな値 $x$ に対しても、 $x=\cos\theta$ を満たす $\theta$ が区間 $[0, \theta]$ のどこかに存在することを意味する(下図参考)。 従って、 $(1)$ から $ \frac{(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{ \| \mathbf{a} \| \| \mathbf{b} \| } $ が $1$ から $-1$ までのどれかの値をとるので、 それがどんな値であったとしても、 を満たす $\theta$ が区間 $[0, \pi]$ のどこかに存在する。
  これより、 と表せる。