ベクトル解析でよく使われる9つの公式

最終更新 2018年 2月3日
目次
- スカラー三重積
- スカラー四重積
- ベクトル三重積
- ベクトル四重積
- 回転の発散
- 勾配の回転
- 外積の発散
- 回転の回転
- 外積の回転
スカラー三重積
  スカラー三重積には、恒等式
スカラー三重積
が成り立つ。 これをスカラー三重積の循環性という。
  また スカラー三重積は、それぞれのベクトルを列ベクトルに持つ行列式に等しい。 すなわち、
スカラー三重積と3行3列の行列式は等しい
が成り立つ。
スカラー四重積
  スカラー四重積には、恒等式
スカラー四重積の恒等式
が成り立つ。
ベクトル三重積
  ベクトル三重積には、恒等式
ベクトル三重積
が成り立つ。
ベクトル四重積
  ベクトル四重積には、次の恒等式が成立する。
ベクトル四重積
回転の発散
$\mathbf{\nabla}$ をベクトル微分演算子とするとき、恒等式
回転の発散
が成り立つ。
  なお、$\mathbf{\nabla}$ とベクトルとの内積を発散 (divergence) といい、 $\mathbf{\nabla}$とベクトルとの外積を回転 (rotation) と呼ぶ。
勾配の回転
  $\mathbf{\nabla}$ をベクトル微分演算子とするとき、3 次元空間上のスカラー関数 $\phi$ に対して、恒等式
勾配の回転
が成立する。
  なお、$\mathbf{\nabla} \phi$ をスカラー関数の勾配 (gradient) と呼ぶ。
外積の発散
  $\mathbf{\nabla}$ をベクトル微分とするとき、
外積の発散
が成り立つ。
回転の回転
  $\nabla$ をベクトル微分とするとき、回転の回転は
回転の回転
を満たす。
外積の回転
  $\nabla$ をベクトル微分とするとき、外積の回転は
外積の回転
を満たす。