上限(sup)と下限(inf)とは? ~具体例と解説~

上限(sup)と下限(inf)
  実数 $\mathcal{R}$ の空でない部分集合 $\mathcal{S}$ が上に有界であるとする。 すなわち、全ての $x \in \mathcal{S}$ に対して、
を満たす $M \in \mathcal{R}$ が存在するとする。 このような $M$ のうち最小のものを $\mathcal{A}$ の上限といい、
と表す。 $\mathcal{S}$ が上に有界出ない場合には、 $ \sup \mathcal{S} = \infty $ と表す。
  同じように、 実数 $\mathcal{R}$ の空でない部分集合 $\mathcal{S}$ が下に有界であるとする。 すなわち、全ての $x \in \mathcal{S}$ に対して、
を満たす $m \in \mathcal{R}$ が存在するとする。 このような $m$ のうち最大のものを $m$ の下限といい、
と表す。 $\mathcal{S}$ が下に有界出ない場合には、 $ \inf \mathcal{S} = -\infty $ と表す。
具体例
  以下の集合の上限 ($\sup$) と下限 ($\inf$) を求めよ。

$(1)$   $S_{1} = \{1,2,3,4,5 \}$

$(2)$   $S_{2} = (2, \hspace{0.5mm} 3\hspace{0.5mm}]$

$(3)$   $S_{3} = \{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \} $

$(4)$   $S_{4} = \{ \small自然数全体\normalsize \}$

$(5)$   $S_{5} = \{\small 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots \normalsize \}$
$ \hspace{10mm}(\small \sqrt{2}$ を成す小数を桁順で並べた数列)
解答例
$(1)$   $S_{1} = \{1,2,3,4,5\}$
  集合 $S_{1}$ の上界は $5$ 以上の実数である。 従って、$S_{1}$ の上限 (上界の最小値) は $5$ である。すなわち、
である。同じように、 集合 $S_{1}$ の下界は $1$ 以下の実数である。 従って、$S_{1}$ の下限 (下界の最大値) は $1$ である。すなわち、
である。


$(2)$   $S_{2} = (2, \hspace{0.5mm} 3\hspace{0.5mm}]$
  集合 $S_{2}$ は $2$ より大きく $3$ 以下の実数の集合である。 $S_{2}$ の上界は $3$ 以上の実数である。 従って、$S_{2}$ の上限 (上界の最小値) は $3$ である。すなわち、
である。 集合 $S_{2}$ の下界は $2$ 以下の実数である。 従って、下限 (下界の最大値) は $2$ である。 すなわち、
である。


$(3)$   $S_{3} = \{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \} $
  集合 $S_{3}$ の上界は $1$ 以上の実数である。 従って、$S_{3}$ の上限 (上界の最小値) は $1$ である。 すなわち、
である。 集合 $S_{3}$ の下界は $0$ 以下の実数である。 従って、下限 (下界の最大値) は $0$ である。 すなわち、
である。


$(4)$   $S_{4} =$ {自然数全体}
  集合 $S_{4}$ は \begin{eqnarray} S_{2} = \{ 1,2,3, \cdots \} \end{eqnarray} であるので、上に有界ではない。 したがって、 \begin{eqnarray} \sup \mathcal{S}_{4} = \infty \end{eqnarray} である。 集合 $S_{4}$ の下界は $1$ 以下の実数である。 従って、下限 (下界の最大値) は $1$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \inf \mathcal{S}_{4} = 1 \end{eqnarray} である。


$(5)$   $S_{5} = \{\small 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots \normalsize \}$
$ \hspace{10mm}(\small \sqrt{2}$ を成す小数を桁順で並べた数列)
  集合 $S_{5}$ の上界は $\sqrt{2}$ 以上の実数である。 従って、$S_{5}$ の上限 (上界の最小値) は $\sqrt{2}$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \sup \mathcal{S}_{5} = \sqrt{2} \end{eqnarray} である。 集合 $S_{5}$ の下界は $1$ 以下の実数である。 従って、下限 (下界の最大値) は $1$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \inf \mathcal{S}_{5} = 1 \end{eqnarray} である。

関数の上限と下限
  集合 $\mathcal{S}$ で定義された実関数 $f$ の値からなる集合
上限下限をそれぞれ、
などと表す。
具体例  (関数の上限と下限)
  以下の関数の上限 ($\sup$) と下限 ($\inf$) を求めよ。

$(1)$   $ \small \mathcal{S_{1}}=(-\infty , \infty), \hspace{1mm} \normalsize$ $\small f(\mathcal{S}_{1}) = \{ \sin x \hspace{1mm}| \hspace{1mm} x \in \mathcal{S_{1}} \}$

$(2)$   $ \small \mathcal{S_{2}}=(-1 , 2 \hspace{0.5mm}], \hspace{1mm} \normalsize$ $\small f(\mathcal{S}_{2}) = \{ (x-1)^2 \hspace{1mm}| \hspace{1mm} x \in \mathcal{S_{2}} \}$

$(3)$   $ \small \mathcal{S_{3}}=(-\infty , \infty), \hspace{2mm} \normalsize$ $\small f(\mathcal{S}_{3}) = \{ e^{-x} \hspace{1mm}| \hspace{1mm} x \in \mathcal{S_{3}} \}$
解答例
$(1)$   $ \small \mathcal{S}_{1}=(-\infty , \infty), \hspace{2mm} \normalsize$ $\small f(\mathcal{S}_{1}) = \{ \sin x \hspace{1mm}| \hspace{1mm} x \in \mathcal{S}_{1} \}$
  集合 $f(S_{1})$ の上界は $1$ 以上の実数である。 従って、$f(S_{1})$ の上限 (上界の最小値) は $1$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \hspace{3mm} \sup_{x\in \mathcal{S}_{1}} f(x) =1 \end{eqnarray} である。 集合 $f(S_{1})$ の下界は $-1$ 以下の実数である。 従って、$f(S_{1})$ の下限 (下界の最大値) は $-1$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \hspace{3mm} \inf_{x\in \mathcal{S}_{1}} f(x) = -1 \end{eqnarray} である。


$(2)$  $ \small \mathcal{S}_{2}=(-1 , 2\hspace{0.5mm}], \hspace{2mm} \normalsize$ $\small f(\mathcal{S}_{2}) = \{ (x-1)^2 \hspace{1mm}| \hspace{1mm} x \in \mathcal{S}_{2} \}$
  図から分かるように、 集合 $f(S_{2})$ の上界は $4$ 以上の実数である。 従って、$f(S_{2})$ の上限 (上界の最小値) は $4$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \hspace{3mm} \sup_{x\in \mathcal{S}_{2}} f(x) = 4 \end{eqnarray} である。 同じく図から分かるように、 集合 $f(S_{2})$ の下界は $0$ 以下の実数である。 従って、$f(S_{2})$ の下限 (下界の最大値) は $0$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \hspace{3mm} \inf_{x\in \mathcal{S}_{2}} f(x) = 0 \end{eqnarray} である。


$(3)$   $ \small \mathcal{S}_{3}=(-\infty , \infty), \hspace{2mm} \normalsize$ $\small f(\mathcal{S}_{3}) = \{ e^{-x} \hspace{1mm}| \hspace{1mm} x \in \mathcal{S}_{3} \}$
  集合 $f(S_{3})$ は上に有界ではない。 したがって、 \begin{eqnarray} \hspace{3mm} \sup_{x\in \mathcal{S}_{3}} f(x) = \infty \end{eqnarray} である。 集合 $f(S_{3})$ の下界は $0$ 以下の実数である。 従って、$f(S_{3})$ の下限 (下界の最大値) は $0$ である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \hspace{3mm} \inf_{x\in \mathcal{S}_{3}} f(x) = 0 \end{eqnarray} である。

上限・下限の存在について
  上限の定義をもう一度繰り返す。 実数 $\mathcal{R}$ の空でない部分集合 $\mathcal{S}$ が上に有界であるとき、 すなわち、全ての $x \in \mathcal{S}$ $(S\neq\phi)$ に対して、 $$ x \leq M $$ を満たす $M \in \mathcal{R}$ が存在するときに、 $M$ を $\mathcal{S}$ の上界といい、 最小の上界を $\mathcal{A}$ の上限という。
  ここで、$M$ の最小値がいつでも存在するのかという疑問が生じるかもしれないが、 それには二通りの考え方がある。 一つは、これを実数の連続性の公理とするという立場である。 すなわち、最小値の存在 (上限の存在) は、 実数の定義を成す幾つかの公理のうちの一つであり、 証明の対象からは外されるという考え方である。 もう一つは、これと同値関係にある別の実数の連続性の公理から出発して、 上限の存在を定理として証明する、という考え方である。
  ただし、どちらにしても上限の存在は実数の連続性の公理であることは変わらない。 もちろん、下限の存在についても同様の議論になる。