3行3列の逆行列

$3$ 次の正方行列

3次正方行列

の逆行列は、

3次正方行列の逆行列

である。
以下に証明と例、および計算機を記す。

解答例

$3$ 次正方行列

3次正方行列

の行列式が $0$ でないとする。すなわち、

3次の行列式

であるとする（$3$x$3$ の行列式を参考）。この場合、 $A$ には逆行列が存在する。
$A$ の逆行列を $A^{-1}$ と表す。このとき、次の定理が知られている。すなわち、 $A^{-1}$ は $A$ の行列式の逆数 $\frac{1}{|A|}$ と余因子行列の積に等しい。式で表すと、

である。ここで、 $\tilde{A}$ は $A$ の余因子行列である。
$\tilde{A}$ は、次のように定義される。まず行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列を $M_{ij}$ とする。すなわち

3x3の行列の小行列

とする。このとき $M_{ij}$ の行列式はそれぞれ

小行列の行列式

である( 2行2列の行列式を参考)。余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分はこれらにより、

余因子行列

と定義される (添え字の順序に注意)。行列で表すと、

である。
従って、逆行列 $A^{-1}$ は $(1)$ より、

である。

例:

行列

の逆行列を求める。
まず、 $A$ の行列式は、

である（「$3$x$3$ の行列式」を参考）。
続いて $A$ の小行列は \begin{eqnarray}

である。
これより、小行列の行列式は、

である (「2行2列の行列式」を参考)。
ゆえに、逆行列の各成分は、

である。
行列で表すと、

計算用入力フォーム

下記入力フォームに半角数字で値を入力し、「実行」ボタンを押してください。逆行列の計算結果が表示されます。

もとの行列