3次の行列式
3次の行列式
$3$ 次の正方行列
の行列式 $|A|$ は
である。
具体例
例題
3次の正方行列
の行列式を求めよ。
計算用入力フォーム
下記入力フォームに
半角数字で値を入力し、「
実行」ボタンを押してください。行列式の計算結果が表示されます。
サラスの公式
3次の行列式は2次の行列式と比較してやや複雑なので、
覚えておくための公式がある。
$3 \times 3$ の行列 $A$ の左上から右下に向けて
$5$ 本の線を引く。
このうち、$3$ 列目の線を通る全ての成分の積は
$A_{11}A_{22}A_{33}$
である。また、
$2$ 列目と $5$ 列目の線を通る全ての成分の積は
$A_{12}A_{23}A_{31}$
である。加えて、
$1$ 列目と $4$ 列目の線を通る全ての成分の積は
$A_{13}A_{21}A_{32}$
である。
以上の積の和は、
$$
\tag{1}
$$
である。
続けて、
行列 $A$ の右上から左下に向けて
$5$ 本の線を引く。
このうち、$3$ 列目の線を通る全ての成分の積は
$A_{13}A_{22}A_{31}$
である。また、
$2$ 列目と $5$ 列目の線を通る全ての成分の積は
$A_{12}A_{21}A_{33}$
である。加えて、
$1$ 列目と $4$ 列目の線を通る全ての成分の積は
$A_{11}A_{23}A_{32}$
である。以上の積に $-1$ を掛けて足し合わせると、
$$
\tag{2}
$$
である。
$(1)$ と $(2)$ を足し合わせると、
となる。これは
$3$ 次の行列式に等しい。
このように $3$ 次の行列式は、
左上から右下に向けて線を引いて得られる項を足し合わせ、
右上から左下に向けて線を引いて得られる項を引くと得られる。
この覚え方を
サラスの公式という。
サラスの公式はそれほど覚えやすい公式ではないが、
同じような考え方で
$2$ 次の行列式も得られるので重宝されることがある。
ただし、$4$ 次以降の行列式には適用できない。
スカラー三重積
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ のスカラー三重積は、
それぞれを列ベクトルに持つ $3$ 次の行列式に等しい。
すなわち、
が成り立つ。