対角化された行列の対角成分は固有値

証明
  $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を $a$ とし、固有ベクトルを $\mathbf{u}_{a}$ と表す。 \begin{eqnarray} A \mathbf{u}_{a} &=& a \mathbf{u}_{a} \\ \end{eqnarray} この式は、 \begin{eqnarray} (A - a I) \mathbf{u}_{a} = 0 \end{eqnarray} $$ \tag{1} $$
と表されるが、 $(1)$ が $\mathbf{u}_{a} = 0$ 以外の解を持つための必要十分条件は、 \begin{eqnarray} |A - a I| = 0 \end{eqnarray} $$ \tag{2} $$ である(行列式が 0 の場合の同次連立一次方程式を参考)。 これが固有値 $a$ の満たす固有方程式である。
  さて、行列式 $(2)$ の両辺に $(*)$ を満たす $R$ の行列式と $R^{-1}$ の行列式を掛けると、 \begin{eqnarray} |R^{-1}| |A - a I| |R| = 0 \end{eqnarray} が成立するが、積の行列式の性質と $R$ が正則行列であること、および、 $R$ が $A$ を対角化する行列であることを用いると、 \begin{eqnarray} &&|R^{-1}| |A - a I| |R| = 0 \\ && \Longleftrightarrow |R^{-1}(A - a I)R| = 0 \\ && \Longleftrightarrow |R^{-1}A R - a R^{-1}R| = 0 \\ && \Longleftrightarrow | \Lambda - a I| = 0 \end{eqnarray} $$ \tag{3 } $$ が成立する。 ここで $I$ は単位行列である。 $\Lambda$ が対角行列であることから、 \begin{eqnarray} \Lambda = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array} \right] \end{eqnarray} と置くと、$(3)$ は、 \begin{eqnarray} \left| \begin{array}{cccc} \lambda_{1} - a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} - a& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}- a \end{array} \right| = 0 \end{eqnarray} と表せる。 対角行列の行列式は対角成分の積に等しいことから、 この式は、 \begin{eqnarray} (a-\lambda_{1})(a-\lambda_{2}) \hspace{1mm}\cdots\hspace{1mm} (a-\lambda_{n}) = 0 \end{eqnarray} と表せる。これより、 \begin{eqnarray} a = \lambda_{1}, \hspace{1mm} \lambda_{2}, \hspace{1mm}\cdots, \hspace{1mm}\lambda_{n} \end{eqnarray} を得る。 すなわち、$A$ を対角化した行列の対角成分は $A$ の固有値である。