対角行列の性質

	定義と例
-	対角行列の定義
-	具体例:

対角行列の定義

$n \times n $ の正方行列 $A$ の各成分を $a_{ij}$ と表すとき、

を満たす行列を対角行列という。行列で表すと、対角成分を除く成分が $0$ である次のような形行列になる。

具体例: (対角行列)

以下の行列は対角行列である。

以下の行列は対角行列ではない。

対角行列の積と可換性

対角行列同士の積は対角行列になる。しかも対角成分が個々の対角行列の対角成分の積になる。すなわち、

のとき、

の形の行列になる。また、対角行列同士の積は可換である。すなわち、

が成り立つ。

証明
行列 $A$ と $B$ を対角行列とする。すなわち、

$$ \tag{1} $$ を満たす行列であるとする。行列 $AB$ の $i$ 行 $j$ 列成分 $(AB)_{ij}$ は、 $ i \neq j $ の場合、行列の積の定義と $(1)$ から

$$ \tag{2} $$ であるので、$AB$ は対角行列である。
一方、対角成分 $(AB)_{ii}$ は

$$ \tag{3} $$ であるので、 $AB$ 対角成分が $A$ の対角行列と $B$ の対角成分の積に等しい。
また、 $BA$ について $AB$ と同様に考えると、 $ i \neq j $ の場合、

であり、 $i=j$ の場合、

である。これらと $(2)$ と $(3)$ から、

が成り立つ。したがって、対角行列 $A$ と $B$ の積は可換 ($AB=BA$) である。

対角行列の行列式

対角行列の行列式は対角成分の積に等しい。すなわち

が成り立つ。

証明
$A$ を $n \times n$ の対角行列

とする。
この行列の $1$ 列めの列ベクトルは、第 $2$ 成分より下の成分が全て $0$ になっている (四角で囲った部分)。このような行列の行列式は、 $1$ 行 $1$ 列の成分 (すなわち $a_{11}$) と、もとの行列から $1$ 行と $1$ 列を取り除いた小行列の行列式の積に等しいことが知られている。これより、