分散と平均、および二乗平均

  データの分散 $\sigma^{2}$ と 平均 $\overline{x}$ 、および二乗平均 $\overline{x^2}$ の間には次の関係がある。 すなわち、

分散、平均、二乗平均の間の関係00

が成立する。
最終更新 2016 年 2 月 13 日


  証明

  総数 $n$ のデータ $\{x_{1}, x_{2},\cdots,x_{n}\} $ に対して、 平均 $\overline{x}$、二乗平均 $\overline{x^2}$、分散 $\sigma^2$ はそれぞれ

分散、平均、二乗平均の間の関係01

と定義される。 分散を展開すると、

分散、平均、二乗平均の間の関係02

である。
  $(1)$ より、 右辺の第一項は、二乗平均の定義そのものであるので、 \begin{eqnarray} \sigma^{2} &=& \overline{x^2} - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}2\overline{x}x_{i} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2 \end{eqnarray} と表される。
  また、 第二項は、平均の定義 $(1)$ から $$ - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 2\overline{x}x_{i} = - 2\overline{x}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} = - 2(\overline{x})^2 $$ であるので、 \begin{eqnarray} \sigma^{2} &=& \overline{x^2} - 2(\overline{x})^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2 \tag{2} \end{eqnarray} が成立する。
  ここで、 $$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$$ に注意すると、 $(2)$ の第三項が $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2 = \frac{1}{n}(\overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n}1 = (\overline{x})^2 $$ と表せることから、 $$ \sigma^{2} = \overline{x^2}- 2(\overline{x})^2 + (\overline{x})^2 = \overline{x^2}- (\overline{x})^2 $$ を得る。







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