相関係数の絶対値は1以下  

  確率変数 $X$ と $Y$ の相関係数 $\rho(X, Y)$ を と定義する。 ここで$E(\cdot)$ と $V(\cdot)$はそれぞれ括弧の中に含まれる確率変数の期待値と分散である。
  このとき、 $\rho$ の絶対値は $1$ 以下である。 すなわち、 が成り立つ。

  証明

  離散的な場合
確率変数 $X$ と $Y$ がそれぞれ $m$ 個 と $n$ 個の値 を取りうるものとし、 $X=x_{i}$、$Y=y_{j}$ となる同時確率を と表す。
  このとき、 $X$ と $Y$ の期待値はそれぞれ であり、 分散はそれぞれ である。 これらによって相関関数は、 と定義される。 ここで $E \left((X-E(X))(Y-E(Y)) \right)$ の部分は、 $ (X-E(X))(Y-E(Y)) $ の期待値であるので、 である。 これより と表せる。
  ここで $i=1,2,\cdots,m$、 $j=1,2,\cdots,n$ に対して を定義すると相関係数は と表されるが、 $\mathbf{w}^{X}$ と $\mathbf{w}^{Y}$ をそれぞれ $w^{X}_{ij}$ と $w^{Y}_{ij}$ を成分に持つ $mn$ 次元のベクトル として定義すると、 これらの間の内積が であることから、 相関係数は内積によって と表される。
  するとシュワルツの不等式により、 が成立する。
  ここで現れた二つのノルムは、 $\mathbf{w}^{X}$ と $\mathbf{w}^{Y}$ の定義、 および分散の定義により、 である。 ゆえに が成り立つ。 すなわち、 相関係数の絶対値は1以下である。   確率変数 $X$ と $Y$ の同時確率分布(同時確率密度関数)を $p(x,y)$ と表すとき、 それぞれの期待値は、 であり、 分散は である。 これらによって相関関数は、 と定義される。 ここで $E \left((X-E(X))(Y-E(Y)) \right)$ の部分は、 $ (X-E(X))(Y-E(Y)) $ の期待値であるので、 である。 これより と表せる。
  ここで関数 $f_{X}(x,y)$ と $f_{Y}(x,y)$ を と定義すると相関係数は と表されるが、 積分の部分を と定義すると、 と表され、 $(f_{X}, f_{Y}) $ が内積の性質を満たすことが示される(補足)。 従ってシュワルツの不等式によって が成り立つ。 これより、 が成り立つ。
  右辺のノルムの部分は、 $f_{X}$ の定義および分散 $V(X)$ の定義から であり、 同様に である。 以上から、 が成り立つことが分かる。 すなわち、 相関関数の絶対値は $1$ 以下である。   次のように積分によって定義した記号 が内積の定義を満たすことを示す。 が成り立つ。 が成り立つ。 が成り立つ。 が成立する。 等号が成立するのは、$f_{X} = 0$ のときのみである。 すなわち、 が成り立つ。