鏡映点の求め方

  位置ベクトルが $\mathbf{u}$ である点の平面 $P$ に対する鏡映点の位置は、 である。 ここで、 $\mathbf{n}$ は 平面$P$ の法線ベクトルであり、 $h$ は符号付き距離である。

  解説

1.   垂線の足(投影点)を求める
  平面 $P$ の方程式を と表す。 ここで、 $\mathbf{n}$ は法線ベクトルであり、 $h$ は符号付き距離である。
  3次元空間の任意の点の位置 $\mathbf{u}$ から平面 $P$ 上に下した垂線の足 (投影点) を $\mathbf{u}_{P}$ とすると、 これは、 $\mathbf{u}$ から見て、 法線ベクトルの方向に位置するので、 と表すことができる（図）。 ここで、 $c$ は $\mathbf{u}$ と $\mathbf{u}_{P}$ との間の距離 (正確には符号付き距離) であるが、 $\mathbf{u}_{P}$ が 平面 $P$ 上の点であることから、 を満たす。 これらより、 が成り立つので、 と $c$ が求まる。 ただしここで、法線ベクトルが規格化されていること ($\| \mathbf{n} \| = 1$) を用いた。
  以上から垂線の足の位置 $\mathbf{u}_{P}$ は、 である。

2.   鏡映点を求める
  $(1)$ を と表すと分かるように、 $\mathbf{u}$ は $\mathbf{u}_{P}$ から見て、 法線ベクトル $\mathbf{n}$ の方向に距離 $(\mathbf{u}, \hspace{0.5mm} \mathbf{n}) - h $ だけ離れた点である。   一方、 $\mathbf{u}$ の平面 $P$ に対する鏡映点を $\mathbf{u}'$ とすると、 $\mathbf{u}'$ は $\mathbf{u}_{P}$ から見て、 $\mathbf{u}$ とは反対の方向にあり、 $\mathbf{u}$ と同じ距離だけ離れた点である（図）。 よって、 が成立する点である。
  これより 鏡映点は である。