ガウス積分の定義と諸性質

最終更新 2018年 2月4日
  ガウス積分に関する諸性質のリストを記す。
目次
- ガウス積分の定義
- $x e^{- \alpha x^2}$ の場合
- 漸化式
- $x^2 e^{- \alpha x^2}$、$x^3 e^{- \alpha x^2}$、$x^4 e^{- \alpha x^2}$ の場合
- $e^{- (ax^{2} + bx +c)}$ の場合
ガウス積分の定義
  ガウス分布(正規分布)に対する下記の積分をガウス積分と呼ぶ。 積分範囲が ∞ に及ぶので、正確には広義積分である。
ガウス積分の証明
ただし $\alpha>0$ とする。
$xe^{-\alpha x^2}$ の場合
  被積分関数が $xe^{-\alpha x^2}$ のガウス積分は次の値である。
ガウス積分(1次)
ガウス積分の漸化式
  積分範囲が $0$ から $+\infty$ までの $n$ 次のガウス積分を
と定義する。
  同様に、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの $n$ 次のガウス積分を
n次のガウス積分
と定義する。
  このとき、 両者には
ガウス積分の漸化式
という漸化式が成り立つ。
 
$x^2 e^{-\alpha x^2}$、$x^3 e^{-\alpha x^2}$、$x^4 e^{-\alpha x^2}$ の場合
  上の漸化式を用いると 高次のガウス積分が次の値であることが分かる
求め方は下記のリンク先
$e^{-(a x^2 + bx +c)}$ の場合
  ガウス積分の指数が二次関数の一般形になることがよくある (例えば「 正規分布の再生性 」)。 このような場合は、 以下のように指数の部分を平方完成させると値が求まる。
最後から二行目の等号で $t= x+\frac{b}{2a}$ と置いて置換積分を行った。