ガウス積分の公式集 (証明付)

証明   はじめに を証明する。
  3 つの領域を定義する。
  1つめは、 原点を中心に持つ半径 $r$ の円と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた領域 $A_{1}$ である。
  2つめは、$x=r$ と $y=r$ と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた領域 $A$ である。 $A$ は 一辺が $r$ の正方形を成す。
  3つめは、 原点を中心に持つ半径 $\sqrt{2}r$ の円と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた領域 $A_{2}$ である。
  このように定義すると、 $A_{1}$ は $A$ に含まれ、$A$ は $A_{2}$ に含まれる(図)。   上の 3 つの領域を積分範囲とし、 非積分関数を $e^{-\alpha (x^{2}+ y^{2})}$ とする積分をそれぞれ $I_{1}$, $I$, $I_{2}$ とする。 すなわち、 とする。
  3 つの領域の全体において、 非積分関数 $e^{-\alpha (x^{2}+ y^{2})}$ が正であり、 $A_{1}$ は $A$ に含まれ、$A$ は $A_{2}$ に含まれることから、 $$ \tag{1} $$ が成り立つ。
  左辺の積分 $I_{1}$ は、積分変数を極座標によって と変換することにより、 と表せるが、ここで現れた積分 $ \int_{0}^{r} e^{-\alpha R^2} R \mathrm{d}R$ が、 $t = R^{2}$ と置くことにより、 と求められるので、 である。
  同様に $(1)$ の右辺の積分 $I_{2}$ は、 である。
  また $(1)$ の積分 $I$ は、 と表せる。
  以上から が成立する。
  非積分関数 $e^{-\alpha x^{2}}$ が正であるので、 積分 $\int_{0}^{r} e^{-\alpha x^{2}}\mathrm{d}x$ は正である。ゆえに が成立する。
  この不等式の左辺の $r \rightarrow \infty$ の極限は、 である。 また、 右辺の極限は であり、左辺の極限に等しい。
  従って、 はさみうちの定理により、 が成立する。 この式の極限の部分を省略して、 $$ \tag{2} $$ と表したのがガウス積分である。   積分範囲が $- \infty$ から $+ \infty$ までの場合のガウス積分については、 $- \infty$ から $0$ までの積分と $0$ から $+\infty$ までの積分に分けて考えるとよい。 すなわち、 とするとよい。
  第二項は $(2)$ で既に求められている。 これを代入すると、 である。
  第一項の積分については、 $t = -x$ と変数変換して、置換積分を行うと、 第二項の積分と等しいことが示される。 すなわち $(2)$ から である。
  これらから、 を得る。

証明
  はじめに、 を示す。
  積分変数を $x=\sqrt{t} $ と変換して置換積分を行う。 であることから、 となる。
  続いて を示す。
  積分範囲が $- \infty$ から $+ \infty$ までの場合の積分については、 $- \infty$ から $0$ までの積分と $0$ から $+\infty$ までの積分に分けて考えるとよい。 すなわち、 とするとよい。 第二項は $(1)$ で既に求められている。 これを代入すると、 である。
  第一項の積分については、 $x = -t$ と変数変換して置換積分を行うと、 第二項の積分と符号だけ異なることが示される。 すなわち $(1)$ から
  これらから、 を得る。

証明
  $I_{n}(\alpha)$ の $\alpha$ に関する微分 は、 非積分関数 $x^{n} e^{-\alpha x^2}$ とその $\alpha$ に関する偏微分 $ \frac{\mathrm{\partial} }{\mathrm{\partial} \alpha } \left( x^{n} e^{-\alpha x^2} \right) $ が連続関数であることから、 微分と積分の入れ替えが可能である。すなわち、 が成り立つ。
  このことと、 右辺の偏微分が であることを用いると、 を得る。
  同じように、 を得る。

証明
  $n=0$ の場合の 漸化式 は、 である。 ガウス積分によって$I_{0}(\alpha)$ は であるので、 である。
  これと全く同じように、 $n=0$ の場合の $J_{n}(\alpha)$ の漸化式は、 であり、$J_{0}$ が であることから(ガウス積分を参考)、 である。

証明
  $n=1$ の場合の 漸化式 は、 である。 $I_{1}(\alpha)$ が であることから (「$1$次の ガウス積分の値」を参考 )、 である。
  これと全く同じように、 $n=1$ の場合の $J_{n}(\alpha)$ の漸化式は、 であり、$J_{1}(\alpha)$ が であることから(「$1$次の ガウス積分の値」を参考 )、 である。

証明
  $n=2$ の場合の漸化式は、 である。 $I_{2}(\alpha)$ が であることから (「$2$次の ガウス積分の値」を参考)、 である。
  これと全く同じように、 $n=2$ の場合の $J_{n}(\alpha)$ の漸化式は、 であり、$J_{2}(\alpha)$ が であることから (「$2$次の ガウス積分の値」を参考)、 を得る。

証明
  以下のように指数の部分を平方完成させると値が求まる。 最後から二行目の等号で $t= x+\frac{b}{2a}$ と置いて置換積分を行った。