べき関数と指数関数の比較
変数 $x$ が大きくなるに連れてべき関数 $x^{n}$ よりも、
指数関数 $e^{x}$ の方が幾らでも大きな値をとる。
すなわち、
が成り立つ。
証明
$m=1,2,\cdots$ に対して、
関数 $f_{m}(x)$ を
と定義すると、
であるので、
$x>0$ において
である。したがって、$f_{m}(x)$ の増減表を書くと、
となるので、
$f_{m}(x)$ の $x \geq 0$ の範囲での最大値は、
である。
一方 $f_{m}(x) \geq 0$
$(x \geq 0)$ でもあるので、
$f_{m}(x)$ は
\begin{eqnarray}
0 \leq f_{m}(x) \leq \left( \frac{m}{e} \right)^m
\end{eqnarray}
の範囲に収まる関数であることが分かる。
$x e^{-x}$ (青色)
$x^2 e^{-x}$ (オレンジ色)
$x^3 e^{-x}$ (緑色)、
これより、
十分に大きな $x$ に対して、
が成り立つ。
ここで、右辺の極限が
であることから、
はさみうちの定理により、
が成り立つ。すなわち、
である。これが任意の $m=1,2,\cdots$ に対して成り立つことから、
$n=0,1,2 \cdots $ に対して、
が成り立つ。