逆関数の微分

証明
  $f(x)$ は微分可能であるので連続関数である。 したがって、 $f(x)$ は連続かつ単調増加する関数である。 ゆえに、$y=f(x)$ には逆関数 $$ \tag{1} $$ が存在する (連続かつ単調増加 ⇒ 逆関数を参考)。
  $f$ は単調増加関数であるので、 正の値 $h$ に対して、 $$ \tag{2} $$ とすると、 $ k>0 $ である。また、 であるので、 $$ \tag{3} $$ である。 $(1)$ と $(3)$ と微分の定義から $$ \tag{4} $$ である。
  ここで、逆関数 $f^{-1}$ の連続性により、 であるので、 が成り立つ (関数の和の極限の性質を参考)。 一方で、 関数 $f$ の連続性により、 であるので、 が成り立つ。 以上から、 が成り立つ。 このことから、 である (下の補足 Aを参考)。
  これと $(4)$ と $(2)$ から を得る。4つめの等号では関数の商の極限の性質を用いた。

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解答例
  逆関数の微分公式により、 である。 この結果は、 から直接確かめることが出来る。

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解答例
  三角関数の微分が であること、 および、区間 において、$\cos x \geq 0$ が成り立つので、 であることを用いると、 逆関数の微分公式により、 である。

解答例
  であるので、 逆関数の微分公式により、 である。