陰関数  

証明
  はじめに $$ \tag{2.1} $$ とする。その上で の場合を考える ($f_{y}(a,b) \lt 0$ の場合は、以下の議論と同様に考察すれば証明できるので省略する)。 正の値 $ \epsilon $ が十分に小さく、 $$ \tag{2.2} $$ を満たすとする。 $f$ は $C^{1}$ 級関数 であるので、 $f_{y}$ は連続である。 従って、$\epsilon - \delta$ 論法によって を満たす正の $\delta$ が存在する。 これより、 であるので、 これと $(2.2)$ から を満たす正の $\delta$ が存在することになる。 したがって、 $$ \tag{2.3} $$ であるならば、 $$ \tag{2.4} $$ の範囲で、 $f(x,y)$ は $y$ の単調増加関数である ( 「微分が正 ⇒ 単調増加」 を参考)。 したがって、 $f(a,y)$ は $y$ の単調増加関数である (なぜなら $x=a$ の場合、$(2.3)$が満たされる) 。 これより、 を満たす $y_{-}$ と $y_{+}$ に対して、 が成り立つ。これと $(2.1)$ から $$ \tag{2.5} $$ を得る。 第一式より $$ \tag{2.6} $$ を満たす正の値 $ \epsilon_{-} $ が存在する。 $f$ は $C^{1}$ 級関数 であるので、 連続である。 従って、$\epsilon - \delta$ 論法によって を満たす正の $\delta_{-}$ が存在する。 これより、 であるので、 これと $(2.6)$ から $$ \tag{2.7} $$ を満たす正の $\delta_{-}$ が存在することになる。 また、 同じような議論によって、 $(2.5)$ の第二式から、 $$ \tag{2.8} $$ を満たす正の $\delta_{+}$ が存在することが分かる。 ここで、$\delta'$ を $$ \tag{2.9} $$ を満たす任意の正の数とすると、 $(2.7)$ と $(2.8)$ から、 が成り立つ。 したがって、 $$ \tag{2.10} $$ を満たす $x$ の中から任意の一つを選び、$x=x'$ とすると、 が成り立つ。 すると 中間値の定理により、 $$ \tag{2.11} $$ を満たす $y'$ が存在することが分かる。 また、$(2.9)$ から が成り立つので、 $f$ は $y$ についての単調増加関数である ($(2.4)$ 付近を参考)。 これより、 $(2.11)$ を満たす $y'$ はただ一つである (「単調増加⇒逆関数の存在」の証明を参考)。
  以上から、 $(2.10)$ を満たす $x$ の中から任意の一つの値 $x'$ を選択すると、 $(2.11)$ を満たす唯一つの値 $y'$ が定まることが分かった。 これは $y'$ が $x'$ の関数であり、 $(2.11)$ を満たすことを表している。 そこで、 その関数を と表すと、 $(2.11)$ から、 が成り立つ。 この関係が $(2.10)$ を満たす全ての $x$ について成り立つので、 定義域を $(2.10)$ とする関数 が存在し、 が成り立つことが分かる。 したがって $y=g(x)$ は $ f(x, y) = 0 $ の陰関数である。
  $x=a$ の場合 と表すと、$y_{a}$ は $$ \tag{2.12} $$ を満たす。一方 $(2.1)$ より、 である。上記の議論から、 $(2.12)$ を満たす $y_{a}$ は唯一つであるので、 である。 これより、 である。

証明
  2変数の $C^{1}$ 級関数 $f(x,y)$ が 点 $(x_{0},y_{0})$ において、 を満たす場合、 $x_{0}$ を含む開区間 ($D$ とする) を定義域とする陰関数 が存在する (「陰関数の存在」を参考)。 また、 任意の $x \in D$ と、 $x+h \in D$ を満たす十分に小さな $h$ に対して、 が成り立つ (「陰関数の定義」を参考)。 ここで、 $$ \tag{3.2} $$ と置くと、 $$ \tag{3.3} $$ と表される。 $f$ は $C^{1}$ 級関数であるので、 二変数の平均値の定理が適用可能である。 したがって、 を満たす $\theta$ が存在する。 これと $(3.3)$ より、 が成り立つ。 一方、 $(3.2)$ より、 であるので、 が成り立つ。 また $(3.2)$ より、 である。これらから、 $$ \tag{3.4} $$ を得る。 $f$ は $C^{1}$ 級関数であるので、 $f_{x}(x , y )$ と $ f_{y}(x , y )$ が存在する。 したがって、 $(x_{0}, y_{0})$ における 陰関数 $g(x)$ は微分可能であり、 $(3.4)$ で表される (本証明では点 $(x_{0}, y_{0})$ に注目したが、その他の点についても同様に考えればよい)

解答例   とすると、 であるので、 陰関数の微分により、 である。 ここで $y\neq 0$ とした。