証明
関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ 上で連続な関数であるとする。
このとき、
$$
\tag{1}
$$
を満たす任意の $D$ に対して、
数列 $a_{n}$ と $b_{n}$ を以下のように定義する。
はじめに $n=1$ のとき、
$$
\tag{2}
$$
とする。このとき、
であり、
$(1)$ $(2)$ から
$$
\tag{3}
$$
が成り立つ。
続いて $n=2$ のとき、$D$ が
$$
\tag{4}
$$
を満たす場合には、
$$
\tag{5}
$$
とする(下図参考)。
一方
$$
\tag{6}
$$
を満たす場合には、
$$
\tag{7}
$$
とする。
このとき、$(4)$ と $(6)$ のいずれの場合であっても、
$(5)$ $(7)$ から、
が成り立つ。
加えて、$(3)$ $(4)$ $(5)$ $(6)$ $(7)$ より、
$$
\tag{8}
$$
が成り立つ。
$ f(\frac{a_{1}+b_{1}}{2}) = D $
の場合には、
と置き、中間値の定理が証明されたことになるので、議論を終了する。
以下同様な手続きによって数列 $a_{n}$ を定義する。
すなわち、
$D$ が
$$
\tag{9}
$$
を満たす場合には、
$$
\tag{10}
$$
とする。
一方、
$D$ が
$$
\tag{11}
$$
を満たす場合には、
$$
\tag{12}
$$
とする。
このとき、$(9)$ と $(11)$ のいずれの場合であっても、
$(8)$ $(10)$ から
$$
\tag{13}
$$
であり、
$$
\tag{14}
$$
が成り立つ
($(8)$ を参考。
$ f(a_{n-1}) \lt D \lt f(b_{n-1}) $ のもとで
$(9) (10) (11) (12)$ から導かれる ) 。
$ f(\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}) = D $ の場合には、
と置き、中間値の定理が証明されたことになるので、議論を終了する。
このように定義した数列 $a_{n}$ は、
$(9)$ の場合、
$(13)$ から
$$
\tag{15}
$$
であり、
$ (11) $ の場合、
$$
\tag{16}
$$
であるので、
である。
したがって、
$a_{n}$ は単調増加数列である。
また、$a_{n}$ は $(15)$ の途中式
と $(16)$ と
等比数列の和の公式から
$$
\tag{17}
$$
が成り立つので、上に有界な数列である。
以上から、$a_{n}$ は単調増加する上に有界な数列であるので収束する (実数の連続性の公理)。
そこで極限値を $d$ とすると、
$$
\tag{18}
$$
である。
$(17)$ と $(18)$ と
有界な数列の極限の性質から
である。
また、$a_{n}$ は単調増加数列であり、$a_{1} =a$ であることから、$a \leq a_{n}$ である。
よって、$(18)$ から
\begin{eqnarray}
a \leq d
\end{eqnarray}
である。したがって、
$$
a \leq d \leq b
$$
$$
\tag{19}
$$
である。
これと
$f(x)$ が
連続関数であることから、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \rightarrow \infty} f(a_{n})
&=& \lim_{a_{n} \rightarrow d} f(a_{n})
\\
&=& f(d)
\end{eqnarray}
$$
\tag{20}
$$
である。
一方、$b_{n}$ の極限もまた $(13)$ から
\begin{eqnarray}
\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n}
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( a_{n} + \frac{1}{2^{n-1}}(b-a) \Big)
\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}
\\
&=& d
\end{eqnarray}
であり、
$f(x)$ が
連続関数であることから、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \rightarrow \infty} f(b_{n})
&=& \lim_{b_{n} \rightarrow d} f(b_{n})
\\
&=& f(d)
\end{eqnarray}
$$
\tag{21}
$$
である。
ところで、
$(14)$ と
有界な数列の極限の性質から
\begin{eqnarray}
\lim_{n \rightarrow \infty} f(a_{n}) \leq D \leq \lim_{n \rightarrow \infty} f(b_{n})
\end{eqnarray}
が成り立つので、
$(20)(21)$ から
\begin{eqnarray}
f(d) \leq D \leq f(d)
\end{eqnarray}
である。すなわち、
\begin{eqnarray}
f(d) = D
\end{eqnarray}
である。
$(19)$ より、$d$ は区間 $[a,b]$ の中にあるので、
次の結論を得る。すなわち、
区間 $[a, b]$ 上で連続な関数 $f(x)$ が
$
f(a) \lt f(b)
$
を満たすとき、
\begin{eqnarray}
f(a) \lt D \lt f(b)
\end{eqnarray}
を満たす任意の $D$ に対して、
\begin{eqnarray}
f(d) = D
\end{eqnarray}
となる $d$ が区間 $[a, b]$ の中に存在する。