クラメルの公式   ～証明と具体例～

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証明
    一般に、 行列式が $0$ の行列は逆行列を持つので、 $|A| \neq 0$ であることから、 $A$ には逆行列 $A^{-1}$ が存在する。 これを の両辺に掛けると、 となる。
  また一般に、任意の行列とその余因子行列の積は、 単位行列に行列式を掛けたものに等しいことが知られている。 すなわち、 $A$ の余因子行列を $\tilde{A}$ と表すと、 これらの間には、 が成り立つ。 これと $|A| \neq 0$ であることから、 が成り立つ。 この式は、 行列 $\frac{1}{|A|}\tilde{A}$ が $A$ の逆行列 であることを表している。 すなわち、 である。 これを $(1)$ に代入すると、 と表される。 この式の 第 $k$ 成分は、 である。
  $\tilde{A}_{kl}$ は、余因子行列の定義より、 である ( 添え字の順序に注意 )。 ここで $M_{lk}$ は、行列 $A$ から $l$ 行 と $k$ 列を取り除いて得られる小行列 であり、$|M_{lk}|$ はその行列式である ( $a_{ij}$ は $A$ の $i$ 行 $j$ 列成分である ) 。 これらより、$(2)$ は、 と表される。
  右辺の $\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l} b_{l} |M_{lk}| $ の部分は、 行列式 の $k$ 列に関する余因子展開になっている。 実際に余因子展開してみると、 である。
  これを $(3)$ に代入すると、 を得る。 すなわち、 連立 $1$ 次方程式の解の第 $k$ 成分は、 係数行列 $A$ の $k$ 列を $\mathbf{b}$ で置き換えた行列式を、 $A$ の行列式で割ったものに等しい。 これをクラメルの公式と呼ぶ。

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解答例
    行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ と $\mathbf{b}$ を とするとき、 連立 $1$ 次方程式 の解は、 クラメルの公式によると、 である。
  これを連立 $1$ 次方程式 に対して適用する。
  この場合、 であるから、 $(1)$ より、 解は、 である。
  行列式 $|A|$ を、 $1$ 列に関する余因子展開と $2$ x $2$ の行列式の計算から求めると、 であるので、 解は と表される。
  これらに含まれる各行列式を同じように求めると、 であることから、 解 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ は、それぞれ である。