行列多項式とフロベニウスの定理

証明
  $f(A)$ が行列多項式であるので、 と置く。 $P$ が正則行列であるので、 が成り立つことを用いると、 を得る。

証明
  任意の正方行列は三角化可能であるので、 $A$ には を満たす正則行列 $P$ と、 対角成分が $A$ の固有値に等しい 上三角行列 $\Lambda$ が存在する。 $\Lambda$ を と表す。ここで $\lambda_{1}, \lambda_{2},\cdots, \lambda_{n}$ は $A$ の固有値である。 また $f(A)$ を と表す。これらと補助定理から $$ \tag{1} $$ が成り立つ。ここで5個目の等号では上三角行列の積の性質を用いた。
  $\lambda_{f}$ を $f(A)$ の固有値とすると、 $\lambda_{f}$ は固有方程式 $$ \tag{2} $$ の解である。ここで $I$ は単位行列である。 $P$ は正則行列であるので、 であり、 $|I|=1$ であることから、 積の行列式の性質により、 が成り立つことを用いると、 積の行列式の性質から、 $$ \tag{3} $$ が成り立つ。 $(1)$ から であるので、 上三角行列の行列式の性質により、 である。 これより、 $(3)$ は と表されるので、 である。すなわち、$A$ の固有値が $\lambda_{i}$ であるとき、 $f(A)$ の固有値は $f(\lambda_{i})$ である。

解答例
  $A$ の固有値 $\lambda$ は、固有方程式 の解であるから、 である。 したがって、 フロベニウスの定理から の固有値は $f(+1)$ と $f(-1)$ である。 具体的には である。


確認
  $f(A)$ の固有値を固有方程式から求めてみる。 であるので(行列多項式の計算例)、 固有方程式は、 である。 これより、 であるので、 フロベニウスの定理から求めた結果と一致する。