ラプラス分布の期待値と分散の求め方

ラプラス分布とは、

確率密度関数 $p(x)$ が

である確率分布を ラプラス分布 という。確率変数 $X$ がラプラス分布に従うことを

と表すことがある。
下の図は $\mu=3, \beta=1$ (青色) と $\mu=3, \beta=0.5$ (赤色) のラプラス分布。

ラプラス分布の期待値

確率変数 $X$ がラプラス分布に従うとき、期待値 $E(X)$ は、

である。

証明
ラプラス分布の確率密度関数を絶対値を使わずに表すと、

であるので、期待値は、

と表される。
右辺の第一項で現れた積分は部分積分によって、

である。また、第二項で現れた積分もまた部分積分によって、

である。したがって、

である。

ラプラス分布の分散

確率変数 $X$ がラプラス分布に従うとき、分散 $V(X)$ は、

である。

証明
一般に分散 $V(X)$ は、二乗期待値と期待値の二乗の差に等しいので、

である ( ここで期待値が $E(X)=\mu$ であることを用いた )。したがって、二乗期待値 $E(X^2)$ が求まれば分散が得られる。
ラプラス分布の確率密度関数を絶対値を使わずに表すと、

であるので、二乗期待値は、

と表される。
右辺の第一項で現れた積分は部分積分によって、

である。また、第二項で現れた積分もまた部分積分によって、

である。したがって、

である。ゆえに分散は、

である。

ラプラス分布の標準偏差

確率変数 $X$ がラプラス分布に従うとき、標準偏差 $\sigma(X)$ は、

である。