関連

  二項定理

  $p$ と $q$ を任意の数とするとき、

二項定理00

が成立する。
  これを二項定理 (bionomial theorem) という。
最終更新 2016年 2月4日


  証明

  $(*)$ を帰納法によって証明する。
  $n=1$ の場合、左辺は

二項定理01

である。 右辺は、

二項定理02

である。 ここで、 組み合わせの定義が $ {}_n \mathrm{C}_{\hspace{1mm}k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} $ であり、$0!=1$ と定義されることから、

二項定理03

である。ゆえに

二項定理04

である。
  以上より $n=1$ の場合、$(*)$ が成立する。

  $n=m$ の場合に $(*)$ が成立すると仮定し、 $n=m+1$ 場合にも $(*)$ が成立することを示す。
  そこで、

二項定理05

が成立すると仮定する。
  このとき $(p+q)^{m+1}$ は

二項定理06

である。
  ここで $(1)$ の第一項は、

二項定理07

と表せる。一方で第二項は、

二項定理08

と表せる。
  よって、

二項定理09

と表せる。
  ここで組み合わせの定義より、

二項定理10

が成立するので、$(2)$ は、

二項定理11

と表される。
  ここで、

二項定理12
二項定理13

が成立することから、

二項定理14
と表せる。
  右辺は、

二項定理15

と、一つにまとめられるので、

二項定理16

が成立する。
  すなわち、$n=m+1$ に対し、 $(*)$ が成立する。

  例

  $n=5$ の場合、$(*)$ から、

二項定理17

である。




二項定理を使って二項分布の期待値を求める




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