関連

  二項分布の期待値

  $X$ が $0, 1,2 , \cdots,n$ の値をとり、それぞれの値になる確率が二項分布に従うとする。 すなわち、

二項分布の期待値00

ここで $0 \lt p \lt 1$ である。
  このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は、$np$ である。


二項分布の期待値01

最終更新 2015年 8月11日


  証明  

  期待値の定義と二項分布の定義 $(*)$ より、

二項分布の期待値02

である。 組み合わせ ${}_n \mathrm{C}_{\hspace{1mm}k}$ が

二項分布の期待値03

であることから、

二項分布の期待値04

と表せる。
  右辺の総和のうち、$k=0$ の項が $0$ であることから、総和の中からこの項を取り除き、整理すると、

二項分布の期待値05

と表せる。
  また、$l=k-1$ とすると、

二項分布の期待値06

が成立するので、

二項分布の期待値07

と表せる。
  上の式の右辺の総和の部分は、二項定理により、$ \{p+ (1-p) \}^{n-1}$ に等しい。すなわち、

二項分布の期待値08

が成立するので、

二項分布の期待値09

を得る。

 例

  例 1:   下の図は、$n=10$, $p=0.5$ の場合の二項分布である。

二項分布の期待値の図00
この場合、期待値は $$ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 $$ である。


例 2:   下の図は、$n=10$, $p=0.3$ の場合の二項分布である。

二項分布の期待値の図01

この場合、期待値は $$ E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3 $$ である。






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