ウォリス積分

証明   はじめに と置く。
  $\sin^{n}x = \sin^{n-1}x \hspace{1mm} \sin x$ と分けて部分積分をすると、 これより、次の漸化式を得る。 $$ \tag{1} $$   $n$ が偶数の場合、この漸化式から ここで $I_{0}$ は であるので、 を得る。
  $n$ が奇数の場合、漸化式 $(1)$ から ここで $I_{1}$ は であるので、 を得る。
  以上の結果を double factorial の記号 $$ \tag{2} $$ を用いて表すと、$n$ が偶数の場合 $n$ が奇数の場合 である。   同じ方法で $\cos$ の場合も示される。 と置く。
  $\cos^{n}x = \cos^{n-1}x \hspace{1mm} \cos x$ と分けて部分積分をすると、 これより、次の漸化式を得る。 $$ \tag{3} $$   $n$ が偶数の場合、この漸化式から ここで $J_{0}$ は であるので、 を得る。
  $n$ が奇数の場合、漸化式 $(3)$ から ここで $J_{1}$ は であるので、 を得る。
  以上の結果を double factorial の記号 $(2)$ を用いて表すと、 $n$ が偶数の場合 $n$ が奇数の場合 を得る。

解答例
  偶数の場合のウォリスの積分公式を用いると、 を得る。$\cos$ の積分に場合も同様。

解答例
  奇数の場合のウォリスの積分公式を用いると、 を得る。$\cos$ の積分に場合も同様。